FACULTAD DE INGENIERÍA TALLER DE CÁLCULO DIFERENCIAL

...

- Dada la elipse con ecuación [pic 66], halle:

- Las coordenadas del centro.

- El semieje mayor.

- El semieje menor.

- Las coordenadas de los vértices.

- Las coordenadas de los focos.

- Las ecuaciones de las directrices.

- La longitud del latus rectum.

9x2+16y2-36x+96y+36=0

9(x2-4x+4)+16(y2 +6y+9)= -36+36+144[pic 67][pic 68]

9(x-2)+16(y+3)2 =144

[pic 69]

=1

h=2 k=-3 a2 =16 b2 =9

Centro en (2,-3)

Semi eje menor =3

Semi eje mayor =4

Focos en (2 + [pic 70] ,-3)[pic 71]

Vértices en (2+ 4, -3)[pic 72]

C=[pic 73] c=[pic 74][pic 75]

La ecuación de las directrices son[pic 76]

[x= +[pic 77]+2][pic 78]

[pic 79][pic 80]

[pic 81]

- Una pista de patinaje de 400 m de longitud tiene lados paralelos y extremos semicirculares, tal como se muestra en la figura. Exprese el área A encerrada por la pista en función del diámetro d de los semicírculos.

[pic 82]

[pic 83]

P=400m p=2[pic 84]r+2x

d=2r 400=[pic 85]d+2x [x=[pic 86]]

AT = [pic 87] d+[pic 88][pic 89]

AT =200d-[pic 90][pic 91]d2 +[pic 92][pic 93]d2

[AT =200d-[pic 94][pic 95]d2]

- Exprese el dominio de las siguientes funciones, empleando notación de conjuntos y notación de intervalos:

a) [pic 96]

16-x2>0 (4-x)(4x) > 0[pic 97]

[4-x>0 ^ 4+x>0] v [4-x

[4>x ^ x>-4] v [4

[xE(-[pic 98]-4) xE(-4,[pic 100])] U [xE(4, [pic 101]) xE(-[pic 103],-4)][pic 104][pic 99][pic 102]

xE(-4,4) u xE o xE (-4,4) [pic 105]

dom f(x) {x/Xer: xE(-4,4)}

[x > 0 ^ 4+x > 0 ] v [x [pic 106][pic 107][pic 108]

[x > 0 ^ x >-4] v [x [pic 109][pic 110][pic 111][pic 112]

[xE [0,[pic 113]) xE [-4,[pic 115])] U [ xE (-[pic 116],o] xE (-[pic 118],-4]][pic 114][pic 117]

[xE {0,[pic 119])] U [0,[pic 120])}

Dom f(x) = {x/xER: xE {(-[pic 121],-4] U [0,[pic 122])}}

b) [pic 123]

Para 1

X2-1[pic 124]

[pic 125]

[pic 126]

[pic 127]

[pic 128]

[pic 129]

Para 2

[pic 130]

[pic 131]

v [pic 132][pic 133]

[pic 134][pic 135]

[pic 136]

Ahora [pic 137]

Dom [pic 138]

c) [pic 139]

[pic 140]

[pic 141]

Luego

[pic 142]

Como no tienen el mismo numero entonces = no existe[pic 143]

- Si [pic 144] y [pic 145], halle [pic 146], [pic 147], [pic 148] y el dominio de cada una.

f o g= [pic 149]

Ln (4-x2) > 0 4-x2 > 1 3-x2 > 0[pic 150][pic 151][pic 152][pic 153][pic 154]

[[pic 155]-x > o [pic 157]+x >] v [[pic 158]-x [pic 159] +x [pic 160][pic 161][pic 162][pic 163][pic 156]

[[pic 164] > x x > -[pic 166]] v [[pic 167] [pic 168]][pic 169][pic 170][pic 171][pic 172][pic 165]

[xE (-[pic 173],[pic 174]] xE [-[pic 176] ,[pic 177])] U [xE [[pic 178] ,[pic 179]) ∩ XE (-[pic 180],-[pic 181]][pic 175]

xE [-[pic 182],[pic 183] ] U XE 0 Xe [-[pic 184] , [pic 185] ] [pic 186][pic 187]

dom f o g = { x/xER : xE [-[pic 188] , [pic 189] ]}

g o f =Ln (4-[pic 190])

4 -[pic 191] > 0 4 > [pic 192] 16 [pic 193],16)[pic 194][pic 195]

Y x > 0 xE [0,[pic 196]) xE [0,16)[pic 197][pic 198][pic 199]

Dom g o f = {x/xER: xE [0,16)

f o f = [pic 200] f o f = = [pic 202][pic 203][pic 201]

f o f = [pic 204] xE [0,[pic 205])[pic 206]

dom f o f = { x/xER: xE [0,[pic 207])

- Si [pic 208] demuestre que: [pic 209] y [pic 210]

f(x) =[pic 211]

y= [pic 212] y( ae2x -1)= e2x ae2x y-y= e2x [pic 213][pic 214]

ae2x .y-e2x =y e2x (ay-1)=y[pic 215]

e2x = [pic 216] 2x=Ln [pic