INVESTIGACION DE OPERACIONES II Cadenas de Markov

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Estado transitorio

Un estado x es transitorio si hay un estado j alcanzable desde x, pero el estado x no es alcanzable desde j

Estado ergódico

Un estado bastante importante es aquel que es recurrente, no nulo y aperiódico. Recibe el nombre de ergódico. Los estados ergódicos son importantes en la clasificación de cadenas y para probar la existencia de distribuciones de probabilidad límite.

Matriz de transición

Una matriz de transición para una cadena de Markov de n estados es una matriz de n X n o cuadrada con todos los registros no negativos y con la propiedad adicional de que la suma de los registros de cada columna (o fila) es 1

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UNA MATRIZ DE TRANSICIÓN[pic 7]

Propiedades:

1- la suma de las probabilidades de los estados debe ser igual a 1.

2- la matriz de transición debe ser cuadrada.

3- las probabilidades de transición deben estar entre 0 y 1

Vector de probabilidad

w = (w1, . . . , wk) se llama vector de probabilidades si wi ≥ 0 para i = 1, . . . , k, y

k

∑ wi= 1

i=1

Consideramos una cadena de Markov con s1. . .sk posibles estados en los que la cadena puede estar en el tiempo de observación inicial n = 1 Para i = 1, . . . , k; P (X1 = si) = vi, con vi ≥ 0 y v1 + . . . + vk = 1

Vector estado estable

Se define la distribución inicial [pic 8].

Un vector de probabilidad (finito o infinito numerable) es invariante para una cadena de Markov si [pic 9] ; importante donde P denota la matriz de transición de la cadena de Markov. Al vector de probabilidad invariante también se le llama distribución estacionaria o distribución de equilibrio. .....111, En el estado estable el flujo de probabilidad hacia cada estado debe ser igual al flujo de probabilidad que sale de cada estado o sea son las probabilidades de equilibrio

Anualmente, entre enero a junio en el Eje Cafetero se lleva a cabo una prueba química para verificar la condición de la tierra para iniciar el sembrado del café. Según el resultado de la prueba, la productividad en la nueva temporada puede ser uno de tres estados: (1) buena, (2) regular y (3) mala. Durante varios años los agricultores han notado que la condición de la tierra del año anterior afecta la productividad del año actual y que la situación se describe mediante la siguiente cadena de Markov:

[pic 10]

Las probabilidades de transición muestran que la condición de la tierra puede o deteriorarse o permanecer como está pero nunca mejorar. Por ejemplo, si la condición de la tierra es buena en este año (estado 1) hay 20% de que no cambie el año siguiente, 50% de probabilidad de que sea regular (estado 2), y 30% de probabilidad de que se deteriorará a una condición mala (estado 3). Los agricultores del Eje Cafetero modifican las probabilidades de transición P utilizando un fertilizante orgánico. En este caso, la matriz de transición se vuelve:

[pic 11]

El uso de fertilizante puede conducir a mejorar las condiciones del suelo.

En Mac Donald venden 3 tipos de gaseosas que son: Coca Cola, Pepsi Cola y Big Cola cuando una persona ha comprado coca cola existe una probabilidad de que la siga consumiendo del 75%, un 15% de que compre Pepsi Cola y un 10% de que compre Big Cola; cuando el comprador actualmente consume Pepsi existe una probabilidad de que la siga comprando de 60%, un 25% que compre Coca Cola y un 15% Big Cola; si en la actualidad consuma Big Cola la probabilidad de que la siga consumiendo es del 50%, un 30% que compre Coca Cola y 20% Pepsi Cola.

En la actualidad cada marca Coca Cola, Pepsi y Big Cola tienen los siguientes porcentajes en participación en el mercado respectivamente (60% 30% 10%).

En la actualidad cada marca Coca Cola, Pepsi y Big Cola tienen los siguientes porcentajes en participación en el mercado respectivamente (60% 30% 10%)

•Elaborar la matriz de transición

•Hallar la probabilidad que tiene cada marca en el periodo 5

Respuesta

Matriz de transición

[pic 12]

[pic 13]