Tema 1 Análisis de Operaciones Financieras e Inversiones II

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Sin embargo, en el caso del capital financiero-aleatorio (ξ,η), su equivalente financiero en el punto t0, anterior a cualquiera de los vencimientos posibles (lo más acorde con la naturaleza aleatoria del capital financiero es situarse en un punto anterior a cualquiera de los vencimientos posibles), que representaremos por ϕt0(ξ,η),es una variable aleatoria.

Así, supuesto el punto de valoración t0, los valores posibles del equivalente financiero en dicho punto, que representaremos por Cht0(tj), vienen dados por la siguiente expresión, resultante de combinar los valores posibles de ξ y los de η:

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[pic 13]

prefijado el tanto anual i, y la diferencia (t0-tj) expresada en años (o fracciones de año).

Las probabilidades asociadas a dichos valores Cht0(tj) son las asociadas a los valores ch y tj (de las variables ξ y η ). Es decir:

[pic 14]

Por tanto, la distribución de probabilidad de la variable ϕt0(ξ,η), indicando previamente los valores de la variable (ξ,η) que inducen los de aquélla, es:

[pic 15]

Esta distribución tiene tantos valores posibles como posibles cuantías y vencimientos tiene el capital que se valora ().[pic 16]

Si se disponen en orden creciente los valores de la variable ϕt0(ξ,η), y sus respectivas probabilidades, acumulando la función de cuantía (phj) se obtiene la función de distribución de probabilidad, que representaremos por G(c), la cual proporciona la probabilidad de que el equivalente financiero en t0 del capital (ξ,η) tome un valor inferior o igual al valor c:

[pic 17]

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Su complementaria es la probabilidad de que la variante ϕt0(ξ,η), supere un cierto valor c:

[pic 18]

En sentido inverso, a partir de la distribución ordenada de ϕt0(ξ,η), también se puede determinar el valor de la variable que deja a su izquierda una cierta probabilidad acumulada (1-ε), esto es, el percentil del orden correspondiente, que representaremos por cε:

[pic 19]

En realidad, al tratarse de una distribución de probabilidad de tipo discreto, el percentil cε no tiene porqué coincidir con uno de los valores posibles de la variable, por lo que se indicará el valor de ésta para el cual la probabilidad de no superarlo es lo más próxima posible a (1-ε).

Respecto a los momentos de la variante ϕt0(ξ,η), su valor medio esperado ():[pic 20]

[pic 21](1)

La varianza o momento de segundo orden respecto a la media (por diferencia entre la esperanza matemática del cuadrado de la variable y el de su esperanza matemática):

[pic 22]

La desviación típica:

[pic 23]

Cuando, en lugar de conocer directamente las probabilidades de la distribución conjunta (phj), se disponga de la función de cuantía de probabilidad marginal de la variable vencimiento (pj) y de la distribución de probabilidad de la variable cuantía condicionada a que la variable vencimiento tome un cierto valor (phj), el valor medio esperado de ϕt0(ξ,η), se puede calcular mediante esta expresión equivalente a la primera:

[pic 24](2)

Donde es el valor medio esperado de la cuantía condicionado a que el vencimiento se produzca en tj: [pic 25]

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[pic 26]

Al ser la expresión (2) es igual a la (1) anterior[pic 27]

De la misma manera, la esperanza matemática del cuadrado de la variable puede obtenerse por medio de esta expresión (coincide con la varianza):

[pic 28](3)

Siendo el valor medio esperado del cuadrado de la cuantía condicionado a que el vencimiento se produzca en tj:[pic 29]

[pic 30]

Por otra parte, en el caso particular de que exista una correlación perfecta entre ξ y η, los momentos de la variable ϕt0(ξ,η), tendrán estas expresiones:

[pic 31]

Una vez que se conocen los momentos de la variable aleatoria ϕt0(ξ,η), es posible establecer la cuantía del capital que sustituye en t0 al capital (ξ,η) (es decir, que es intercambiable con éste).

Gil Peláez, al referirse al “principio de sustitución para capitales aleatorios”, indica que la cuantía del capital (V,t0) sustituto del aleatorio (ξ,η) es el valor medio esperado del equivalente financiero en t0. Es decir:

[pic 32]

Sin embargo, al aplicar este criterio no se está teniendo en cuenta la posibilidad de desviación (favorable o desfavorable) del equivalente financiero aleatorio respecto de su valor medio esperado.

El uso de la esperanza matemática requiere que el ambiente sea estadístico: repetición del fenómeno un número elevado de veces, para que el valor medio observado de la variable aleatoria asociada, el equivalente financiero en t0 de un capital (ξ,η), sea próximo al medio esperado. Por ello, el criterio de la esperanza matemática es razonable (tienden a compensarse con la repetición del fenómeno).

Pero cuando el fenómeno no se repite un número suficiente de veces, el uso del valor medio esperado es tanto más desacertado cuanto mayores sean la amplitud de las desviaciones posibles y la probabilidad de que se produzcan dichas desviaciones (cuanto mayor sea la dispersión de la variable aleatoria respecto de su valor medio esperado, indicada por su varianza o su desviación típica).

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Suponiendo que la actitud predominante ante el riesgo es la de aversión, de forma que, de entre dos variables aleatorias que representen resultados positivos