CONJUNTOS DEFINICIÓN

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En teoría de conjuntos también se usan comúnmente los diagramas de Venn, desarrollados por el estudioso de la lógica John Venn (1834-1923). En estos diagramas, el conjunto universal se representa con un rectángulo, y los conjuntos de interés dentro del conjunto universal se representan con regiones circulares (algunas veces con óvalos u otras formas).

SUBCONJUNTOS

Otro concepto que está muy relacionado con la igualdad de los conjuntos es el subconjunto.

Subconjunto de un conjunto

Definición

Sean A y B dos conjuntos, diremos que A es un subconjunto de B y escribiremos A⊆B si todo elemento de A también pertenece a B.

Simbólicamente, A⊆B si para todo x ϵ A, se cumple que x ϵ B.

Ejemplo:

Supongamos que tenemos el conjunto universal U = {1,2, 3}. Cada elemento del conjunto A también es un elemento del conjunto U. Debido a esto, el conjunto A se conoce como subconjunto del conjunto U, y se escribe como:[pic 3]

A⊆U

(“A no es un subconjunto del conjunto U” se representaría como A ⊄ B).

Un diagrama de Venn que muestra que el conjunto M es un conjunto del conjunto N se representa en la imagen.

Subconjunto Propio

Supongamos que tenemos los conjuntos:

B = {5, 6, 7, 8} y A = {6, 7}

A es un subconjunto de B, pero A no es todo B. Hay por lo menos un elemento de B que no está en A. (En realidad, existen en este caso dos elementos, 5 y 8). En esta situación, A se conoce como subconjunto propio de B. Para indicar que A es un subconjunto propio de B, se escribe:

A ⊂ B

El conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B si A ⊂ B y A ≠ B. En símbolos, esto se escribe como A ⊂ B.

EL CONJUNTO POTENCIA

Podemos formar conjuntos cuyos elementos sean a su vez conjuntos. Por ejemplo,

{{1}, {2, 3}, {1, 3, 6}}

Es un conjunto con tres elementos: {1}, {2, 3} y {1, 3, 6}. Otro ejemplo es {∅} cuyo único elemento es ∅. Observemos que ∅ ∈ {∅} y como ∅ no contiene elementos, entonces tenemos que ∅ = {∅}.

El conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado A se llama el conjunto potencia o conjunto de partes de A y lo denotamos por P(A).

P(A) = {B: B ⊆ A}

Notemos que ∅ ∈ P(A) y también que A ∈ P(A) para cualquier conjunto A.

Ejemplo:

P (∅) = {∅}

Consideremos el conjunto {1}. Los subconjuntos de {1} son ∅ y {1}. Por esto

P ({1}) = {∅, {1}}.

En general, si un conjunto A tiene un sólo elemento, digamos por ejemplo A = {a}, entonces los subconjuntos de A son ∅ y {a}. Es decir,

P ({a}) = {∅, {a}}.

Si A = {1, 2}, entonces P(A) = {{1, 2}, {1}, {2}, ∅}.

Considere ahora los siguientes conjuntos

X = P ({1, 2})

Y = P ({1, 2, 3})

Por inspección se obtiene que {3} ∈ Y, pero {3} ∉ X, pues {3} ⊄ {1, 2}. En consecuencia, X ≠ Y.

Si A tiene 3 elementos, digamos que A = {a, b, c}, entonces

P ({a, b, c}) = {{a, b, c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c}, ∅}.

Notemos que P ({a, b, c}) tiene 23 elementos. Un resultado general, que se verá más adelante, dice que si A tiene n elementos, entonces P(A) tiene 2n elementos. Por ejemplo, P ({1, 2, 3, 4, 5}) tiene 25 elementos.

Podemos repetir la operación de tomar el conjunto potencia. Por ejemplo, P (P({1})). Para calcular todos sus elementos recordemos que P ({1}) = {∅, {1}}. Por esto

P(P({1})) = {{∅, {1}}, {∅}, {{1}}, ∅}

Observe que este conjunto tiene 22 elementos.

El tamaño de los conjuntos obtenidos al tomar repetidamente el conjunto potencia crece con mucha rapidez. Por ejemplo,

P (P (P ({1, 2})))

Tiene [pic 4][pic 5]= 216 = 65.536 elementos. Si aplicamos una vez más la operación de tomar el conjunto potencia, tenemos

P (P (P (P ({1, 2}))))

Este conjunto tiene [pic 6][pic 7]= [pic 8]= 265536. Intente el lector calcular este número (necesitará varias páginas para escribirlo).

OPERACIONES CON CONJUNTOS

En esta sección estudiaremos algunas propiedades básicas de las operaciones entre conjuntos. Pero a diferencia de las secciones anteriores, presentaremos argumentos más precisos para justificar las propiedades de los conjuntos. Estos argumentos se llaman demostraciones y son la herramienta fundamental que tienen los matemáticos para validar sus descubrimientos.

PROPIEDADES DE LA UNION DE CONJUNTOS

En la relación con la lista de promesas de campaña, suponga que un encuestador quiere resumir los tipos de promesas hechas por los candidatos. El encuestador necesitaría estudiar todas las promesas de cada candidato, es decir, el conjunto {m, t, s, p, c}. Este conjunto es la unión de los conjuntos de promesas, como muestra el área sombreada del diagrama de ven en la figura.

[pic 9]

{m, t, s } ∪ {m, p, c} = {m, t, s, p, c} ∪ de nota unión de conjuntos.

Nuevamente, la unión de dos conjuntos es un conjunto.

La unión de los conjuntos A y B, representada por A ∪ B, es el conjunto