LA PARADOJA DE ZENÓN (Aquiles y la tortuga)

...

Otro ejemplo.- Si todavía te cuesta admitir que la suma de infinitos números puede ser un número finito, piensa en una hoja de papel (1). Le quitamos la mitad (1/2). A su vez, a la mitad restante le quitamos su mitad (1/4). Al trozo que queda (1/4), también le quitamos su mitad (1/8). Y así sucesivamente, de forma indefinida. Como siempre queda algo de papel, siempre se puede continuar cortando.

Piensa ahora en la suma de los infinitos trozos de papel que vamos quitando:

1 / 2 , 1 / 4 , 1/8 , 1/16 , 1/ 32 ...

¿Cuál es su suma?

¡Evidentemente toda la hoja; es decir 1!

1 / 2 + 1 / 4 +1 / 8 + 1 / 16 + 1 / 32 ... = 1

Ambos casos son ejemplos concretos de laSuma de todos los términos de una progresión geométrica con razón r ( | r | [pic 2]

Dada una progresión geométrica: a , a·r , a·r2 , a·r3 , a·r4 ... a·rn

La suma de los (n + 1) primeros términos: S = a + a·r + a·r2 + a·r3 + a·r4 + ...+ a·rn

Se expresa mediante la fórmula:[pic 3]

Cuando | r | rn+ 1 resulta ser un infinitésimo; es decir, para valores de n cada vez mayores, su límite es 0 .

lim rn+ 1=0 cuando n à 4

En consecuencia, se puede calcular la suma de los infinitos términos de la progresión:

S 4 = lim S = a / (1 – r) cuando n à 4

Ejemplos.-

En la paradoja de Zenón: a = 100 , r = 1/10

Aquiles alcanza a la tortuga después de recorrer: S 4 = 100 / (1 – 1/10) = 111,111... m

Al partir la hoja de papel: a = ½ , r = ½

Todos los trozos suman: S 4 = ½ / (1 – ½ ) = 1

...