Modelos matemáticos para Economía con aplicaciones de máximos y mínimos

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La solución al problema de hallar extremos de una función tiene aplicación inmediata en distintas actividades del ser humano.

Por ejemplo, en geometría interesa maximizar áreas y volúmenes en física, minimizar distancias o tiempos, en economía se busca minimizar las ganancias.

Algunas veces, un problema de esta naturaleza puede formularse de tal manera que involucre maximizar o minimizar una función sobre un conjunto especifico.

Si es así, los métodos del cálculo proveen una poderosa herramienta para resolver el problema.

En realidad, los rudimentos del cálculo diferencial fueron en principio desarrollados cuando Fermat intento encontrar métodos generales para determinar máximos y mininos.

Aplicación de máximos y mínimos

- Existen muchos problemas del mundo real cuyas diferentes posibles soluciones van primero creciendo y luego decreciendo o la inversa, lo que implica que tienen un valor máximo o un valor mínimo, los cuales no pueden ser encontrados por métodos algebraicos, sino solamente con, la aplicación del cálculo diferencial.

- La parte medular de la solución de estos problemas consiste en saber construir una función que describa el comportamiento del fenómeno enunciado.

Una vez construida dicha función, simplemente se le aplica el procedimiento de encontrarle sus máximos y/o mínimos.

Problema:

Se desea construir una caja sin tapa con base cuadrangular, a partir de una lámina cuadrada de 60 cm de longitud de lado, recortando cuadrados de sus esquinas y doblando las pestañas sobrantes para que sean su altura.

Calcular las dimensiones de la caja de mayor volumen.

Solución:

Se comienza trazar un croquis para guiarse; en donde la letra x denota la longitud del lado del lado del cuadrado que se va a recortar en cada esquina.

Por lo tanto, la longitud restante que será realmente lo largo y ancho de la cajita es 60 – 2x.

Después, se ve que lo que se desea maximizar es el volumen ¨V¨ como una función de la variable x.

[pic 6]

Buscamos ahora los números críticos para probar si son máximos o mínimos.

¨Derivando con respecto a x e igualando a cero¨

[pic 7]

Función que describe el volumen del enunciado.

- Se realiza la derivación:

[pic 8]

- Se iguala a cero y resolviendo por medio de la ecuación general de ecuaciones de segundo grado.

[pic 9]

En donde los valores críticos que se obtienen son:

[pic 10]

- ¿Cuál es el valor máximo y el mínimo?

Para saberlo se puede recurrir al proceso general, es decir, dar un valor un poco menor, luego un valor un poco mayor.

Para el primer caso x igual 30, ocuparemos un valor un poco menor como x igual 29:

[pic 11]

Ahora con uno un poco mayor, x igual 31:

[pic 12]

Se puede observar que cambio la derivada de signo negativo a positivo, esto quiere decir que se trata de un mínimo, en este valor crítico.

Por consecuencia del primero, el segundo valor critico (x=10)