PROYECTO FINAL – INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

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- .En general, las integrales pueden clasificarse en indefinidas y definidas.

Integral Indefinida

Haciendo f (x) = F´(x), la antiderivada de f (x) se expresa matemáticamente como:

∫ F(x) dx = F(x)+ c

El lado izquierdo de la expresión se lee: “la integral indefinida de f de x con respecto a x”. El símbolo denota una integral mientras que “c” es la constante de integración.

Reglas básicas de integración

- Regla 1: La integral de una constante k es:

∫ Kdx = kx + c

EJMEPLO: ∫ 5dx = 5x + c

- Regla 2: La integral de una potencia es:

[pic 9]

[pic 10]

EJEMPLO:

- Regla 3: la integral de una función exponencial es:

[pic 11]

[pic 12]

EJEMPLO:

- Regla 4: La integral de una función exponencial natural es:

[pic 13]

[pic 14]

EJEMPLO:

- Regla 5: la integral de una función logarítmica es:

[pic 15]

[pic 16]

EJEMPLO:

Integral Definida

El teorema fundamental del cálculo establece que el valor numérico de una integral definida de una función continua f(x) tras un intervalo desde a-b está dado por la integral indefinida F (x) + c evaluada al límite más alto de integración (b), menos la misma integral evaluada al límite más bajo de integración (a). Puesto que “c” es común a ambos, la constante de integración es eliminada en la sustracción.

[pic 17]

De esta forma, el área bajo de una función desde a hasta b puede ser expresada como una integral definida de f(x) tras un intervalo a hacia b, como se aprecia en el siguiente gráfico

[pic 18]

Esta técnica tiene diversas aplicaciones en la ingeniería empresarial puesto que permite obtener áreas de funciones continuas de una forma relativamente sencilla. De esta forma, las integrales definidas permiten obtener valores numéricos mientras que las integrales indefinidas solo permiten obtener funciones.

Ejemplos de aplicaciones de integrales definidas

[pic 19]

1)

[pic 20]

2)

Excedente del consumidor y el excedente del productor

Una función de demanda P1 = f1 (Q) como en el Gráfico 1 representa los diferentes precios que el consumidor está dispuesto a pagar por diferentes cantidades de un bien. Si el mercado está en equilibro en un punto como (Q0, P0), entonces los consumidores estarán dispuestos a pagar más de P0. El beneficio total para los consumidores está representado por el área sombreada, la cual se denomina excedente del consumidor, EC. Esta área equivale a la diferencia entre lo que el consumidor está dispuesto a pagar y lo que realmente paga.

[pic 21]

Una función de oferta P2 = f2 (Q) como en el gráfico, representa el precio al cual diferentes cantidades de un bien será ofertado. Si el equilibrio de mercado sucede en (Q0, P0), los productores que ofertan a un precio menor a P0 se beneficiaran. Este beneficio o ganancia es llamado excedente del productor, EP, el cual equivale al área sombreada del Grafico 2. Esta área equivale a la diferencia entre el precio que el productor vende y precio límite al cual el productor estaría dispuesto a vender su producto.

[pic 22]

GRÁFICO 1 GRÁFICO 2[pic 23]

[pic 24]

EJEMPLOS:

- Dada una función de demanda, p = 42 – 5q – q2, y asumiendo que el precio de equilibrio es 6, obtenga el excedente del consumidor.

SOLUCIÓN

Para encontrar el nivel de producción asociado a p = 6:

[pic 25]

Ahora, el excedente del consumidor será:

[pic 26]

[pic 27]

- Dada la función de oferta, P = (q+3)2, encuentre el excedente del productor cuando Po=81.

Solución[pic 28]

[pic 29]

- Dada la función de demanda pd = 25 – q2 y la función de oferta

ps = 2q + 1 y asumiendo competencia perfecta, encuentre el:

a) Excedente del consumidor.

b) Excedente del productor.

Solución.

En competencia perfecta, demanda = oferta:

[pic 30]

De donde Qo = 4, lo que implica Po = 9

- Excedente del consumidor:[pic 31]

- Excedente del productor:

[pic 32]

GRÁFICA DEL EXCEDENTEDEL CONSUMIDOR Y EL EXCEDENTE DEL PRODUCTOR

[pic 33]

F. DESARROLLO

F.1. HALLE EL PRECIO Y LA CANTIDAD DE EQUILIBRIO

- Dadas las funciones de demanda y oferta, se igualaran las dos ecuaciones ya que se considera en equilibrio es decir: