Clase de Límite

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Regla para levantar la indeterminación. Se debe factorizar el polinomio del numerador y el polinomio del denominador (debo saber los tipos de factorización), se simplifica y se evalúa el límite con la sustitución directa o ingenua para obtener el resultado. Si al simplificar se obtiene una nueva indeterminación se debe seguir factorizando hasta levantar la indeterminación para poder resolver el límite (analizar el procedimiento).

Tipos de factorización: diferencia de cuadrados, diferencia de cubos, suma de cubos, factor común, por agrupamiento (factor común de factor común), por la ecuación de segundo grado, por la técnica de Ruffini, en el trinomio dos números que multiplicado den c y sumados o restados den b, entre otros.[pic 24]

Nota importante: Si en el límite de la función racional sucede que f(x) numerador, o g(x) denominador, o ambos son funciones irracionales (raíces), se levanta el límite multiplicando por la conjugada del numerador, o por la conjugada del denominados, o por la doble conjugada. Se debe tener cuidado con las operaciones algebraicas, las factorizaciones y la simplificación para hallar el resultado del límite.[pic 25]

Ejemplos: [pic 26][pic 27]

Indeterminación de la forma por cambio de variable: cuando f(x) y g(x) de son funciones irracionales (raíces), muchas veces se transforman en racionales mediante un cambio de variable, tal como y luego se calcula hacia donde tiende la variable cuando la variable x tiende a , es decir, entonces la nueva variable , generalmente con este cambio se obtiene una factorización más fácil para hallar el límite.[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

Ejemplo: Hallar [pic 34]

Indeterminación de la forma por límites notables: se deben aplicar procedimientos algebraicos de forma conveniente para que aparezcan los límites notables (ver lista de límites notables), recuerde utilizar las propiedades de los límites.[pic 35]

Indeterminación de la forma : este tipo de indeterminación se presenta para límites de funciones racionales [pic 36][pic 37]

Regla para levantar la indeterminación. El límite del cociente de dos funciones cuya variable tiende al infinito, se levanta (determinación o se quita) dividiendo cada término de f(x) y g(x) por la máxima potencia de x de la función de mayor grado, se separa en fracciones de igual denominador, se simplifica y luego se aplica la sustitución directa o ingenua para obtener el resultado del límite.[pic 38]

Nota: También podemos obtener dicho límite sacando factor común de f(x) y g(x) la mayor potencia de la variable x.

Ejemplo: Calcular [pic 39]

Indeterminaciones de las formas: . El límite de la función diferencia de la forma: y el límite de la función producto de la forma: , son indeterminaciones que se levantan haciendo operaciones algebraicas (suma o resta de fracciones, conjugadas, doble C, entre otras), para llegar a las formas indeterminadas ó que sabemos calcular.[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]

Nota: El límite de la función potencial-exponencial , donde y , se determina por la fórmula del número e: [pic 45][pic 46][pic 47][pic 48]

Ejemplos: [pic 49][pic 50][pic 51]

Indeterminaciones de las formas: . Estas formas se presentan para límites de la función potencial-exponencial , se levanta la indeterminación igualando una función F(x)=A (por ejemplo) a dicho límite, tomando logaritmo neperianos en ambos miembros de la igualdad nos permite llegar a las formas indeterminadas que ya sabemos calcular, el será la potencia que tiene por base e y exponente el número obtenido.[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]

Ejemplo: Hallar (indeterminación)[pic 56]

Si hacemos el cambio de variable y tomamos logaritmo neperiano a ambos lados de la igualdad, resulta . Aplicado propiedades de logaritmo y propiedades de límites obtenemos (indeterminación). Supongamos por ejemplo que su límite es . Sustituyendo obtenemos , tomando exponencial a ambos lados de la igualdad resulta que , simplificando , luego el resultado final es [pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64]

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