Diseño de controladores On/off, proporcional y PID

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Ahora para analizar con mas detalle el comportamiento de la planta, se modelara nuevamente pero con la variante de que se solo se va tener en cuenta el primer tanque; para lo cual se obtiene las siguientes ecuaciones de modelamiento para este sistema:

[pic 15]

[pic 16]

Ecuaciones 10 y 11. Ecuaciones de estado del sistema con un tanque. [1]

Reemplazando qi en la primera ecuación, y despues factorizandola por R1, se obtiene la siguiente ecuación diferencial para este sistema.

[pic 17]

Ecuaciones 12. Expresión generada por reemplazos de las ecuaciones 10 y 11. [1]

Ahora se aplicara transformada de Laplace a la ecuacion del sistema y de la ecuación de salida.

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[pic 19]

Ecuaciones 13 y 14. Expresiones en Laplace de la ecuacion de salida y ecuación del sistema. (fuente propia)

De la ecuación del sistema en el dominio de Laplace se obtiene la función de transferencia en terminos de H1(s), sin embargo esta variable se sustituye por la viarable Qi(s), de la cual sale de la ecuacion de la salida en el dominio de Laplace.

[pic 20]

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Ecuaciones 14 y 15. Funciones de tansferencias en el dominio de H1(s) y Qi(s). (fuente propia)

Ahora teniendo la función de transferencia y los respectivos valores de C1 y R1 determinados anteriormente, se procedera a modelar el correspondiente diagrama de bloques en Simulink para determinar su respuesta en el tiempo.

[pic 22]

Figura 4. Bloque de la planta con un solo tanque en Simulink. (fuente propia)

De dicho diagrama se obtiene al grafica de su respuesta en el tiempo, la cual es muy similar al sistema de segundo orden cuando se tiene en cuenta los dos tanques.

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Figura 5. Respuesta el tiempo de la planta con un taque (fuente propia)

Como se decia anteriormente, esta grafica es muy similar a la segunda solo que la difrencia a esta es que su estabilidad es mas rapida, ya que esta se estabilice en un tiempo aproximado menor a 150 segundos. Además esta gráfica es caracterisitca de los sistemas de primer orden, y los valores de R1 y C1 definen la constante del tiempo del sistema, permtiendo que dicho tiempo de estabilidad sea muy rapido o lento.

3. Modelamiento del actuador:

Ahora se analizara dicho actuador, que consiste en un motor electrico encargado de llenar los tanques de la planta, además este funciona maximo a 12v con potencia de 5W.

Dicho motor debido a que es un acutador electromecanico se debe analizar tanto desde el punto de vista de un sistema electrico como desde un punto de vista de un sistema rotacional. Inicialmente se analizara como sistema electrico ya que en este es donde se encuentra la señal de entrada de todo este sistema electromecanico el cual corresponde al circuito de armadura, y posteriormente se analizara desde el punto de vista rotacional, el cual corresponde al par resultante, ya que en esta parte se encuentra las salida de dicho sistema la cual corresponde al desplazamiento del motor, que es la encargado de susccionar la cantidad de fluido encesario para llenar los tanques.

Tomando como puno de partida el circuito interno del motor para modelamiento de ecuaciones, se tiene el siguiente circuito:

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Figura 6. Circuito interno del motor bombeador de agua (fuente propia)

Viendo esta figura, se puede decir que se genera un giro al energizar el circuito debido a que se genera un campo magentico que genera voltaje, que esta representado por Vb(t) teniendo la siguiente expresión en base al analisis de un sistema rotacional.

[pic 25]

Ecuación 16. Formula de fuerza contraelectromotriz[2]

Siendo Vb(t) representada como una fuente, que en realidad es la fuerza contraelectromotriz del sistema, Kb es una cosntante de proporcionalidad llamada constante de contra fem. y la corresponde a la velocidad angular del motor, que tambien es igual a ω(t). Aplicando la transformada de Laplace se obtiene la siguiente expresión:[pic 26]

[pic 27]

Ecuación 17. Transformada de Laplace de la ecuación 10[2]

Ahora se analizara el circuito de forma general como una sola malla teniendo en base la corriente de armadura, la fuerza contraelectromotriz y el voltaje de armadura aplicado V1; de lo cual se obtiene la siguiente ecuación diferencial de malla:

[pic 28]

Ecuación 17. Ecuación diferencial de la malla del circuito (fuente propia)

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación 17 se va obtener lo siguiente:

[pic 29]

Ecuación 18. Ecuación 11 en términos de la frecuencia (fuente propia)

Teniendo en cuenta los conceptos de sistemas rotacionales y su aplicación para este caso a un sistema eléctrico, se obtiene el par creado por el motor base a la corriente de armadura ya que es proporcional a la misma da lo siguiente:

[pic 30]

Ecuación 19 y 20. Ecuación de par creado por el motor y su transformada de Laplace[2]

Donde Tm es el par creado por el motor, y Kt que es igual a Kb es la constante del par motor, que esta a su vez depende de las características físicas del motor. Ahora se retoma el análisis de forma general, para lo cual se despeja Ia(s) de la ecuación 19 y se reemplaza en la ecuación 20junto con la ecuación 18, obteniéndose lo siguiente:

[pic 31]

Ecuación 21. Sustitución de las ecuaciones 16 en la ecuación 18(fuente propia)

Ahora para poder realizar separación de variables, se halla Tm(s) en términos