Matriz 3 por 3 en C++

...

d1 = x

d2 = y

d3 = z

Una vez que tenemos estas bases, podemos explicar paso a paso la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de este método.

Por ejemplo, si tenemos un sistema de ecuaciones como la siguiente imagen:

[pic 10]

El primer paso para encontrar su solución es anotarlo en su forma matricial:

[pic 11]

Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma:

[pic 12]

Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½.

[pic 13]

Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por debajo del 1 de la primera columna, en este caso el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será -5.

Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno del elemento de la 1ª fila y estos se sumarán a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicará a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumará su resultado con el número que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 3ª fila se multiplicará a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda en columna de la tercera fila.

[pic 14]

Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad, y procedemos de igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del número que deseamos transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo inverso es -2/13

Además si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos los elementos poseen el mismo denominador, entonces podemos eliminarlos multiplicando todos los elementos de la 3º fila por 2 (el denominador); si bien este no es un paso necesario para el desarrollo del método, es útil para facilitar cálculos posteriores.

[pic 15]

Ahora debemos obtener el 0 que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la matriz identidad, para hacer esto buscamos el opuesto del número que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la matriz con la cual estamos operando, en este caso -17, cuyo opuesto será 17; lo que hacemos ahora es multiplicar este número por todos los elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados con el número que le corresponde en columna de la 3ª fila.

[pic 16]

A esta altura podemos observar como la matriz con la cual estamos operando empieza a parecerse a la matriz identidad.

Nuestro siguiente paso es obtener el 1 correspondiente a la 3ª fila, 3ª columna de la matriz identidad, ahora bien, aplicamos el mismo procedimiento con el que estábamos trabajando, es decir que vamos a multiplicar toda la 3ª fila por el inverso del número que se encuentre en la posición de la 3ª fila, 3ª columna, en este caso 96/13, cuyo inverso será 13/96.

[pic 17]

Luego debemos obtener los dos ceros de la tercera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por encima del 1 de la 3ª columna de la matriz con la cual estamos operando, en este caso 11/13 y ½ cuyos opuestos serán - 11/13 y -½, respectivamente.

Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno del elemento de la 3ª fila y estos se sumarán a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicará a - 11/13 (opuesto de 11/13) por cada uno de los elementos de la 3º fila y se sumaran sus resultados con el número que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 1ª fila se multiplicará a -½ (opuesto de ½) por cada uno de los elementos de la 3º fila y se sumaran sus resultados con el número que le corresponda en columna de la primera fila.

[pic 18]

El último paso que debemos realizar es obtener el 0 de la 1ª columna, 2ª fila de la matriz identidad, para hacer esto buscamos el opuesto del número que se ubica en la 1ª columna, 2ª fila de la matriz con la que estamos operando, en este caso es 3/2, cuyo opuesto será - 3/2, lo que hacemos ahora es multiplicar este número por todos los elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados con el número que le corresponde en columna de la 1ª fila.

[pic 19]

Como podemos observar hemos llegado al modelo de la matriz identidad que buscábamos, y en la cuarta columna hemos obtenido los valores de las variables, correspondiéndose de este modo:

y= -1

x= 1

z= 2

Luego, el sistema de ecuaciones está resuelto y por último se verifica.

2x + 3y + z = 1 3x – 2y – 4z = -3 5x – y – z = 4

2*1+3*(-1)+2=1 3*1- 2*(-1)-4*2=-3 5*1-(-1)-2 =4

2 -3 +2 =1 3 +2 - 8= -3 5 +1 - 2 = 4

1 = 1 -3 = -3 4= 4

PROGRAMACIÓN EN C++

Una vez realizado esto debíamos ejecutarlo mediante un programa, como se anticipó en la introducción; el sistema de programación que se eligió es el llamado “C++”.

C++ es un lenguaje de programación informático. Se trata de una mejora del lenguaje C, hecho con el objetivo de que se pudieran crear muchos más tipos de programas. La diferencia principal con su antecesor es que en el lenguaje C la programación era estructurada, mientras que en el C++ se orienta más hacia los objetos, aplicando mecanismos que permiten su manipulación.

Es un lenguaje de programación de alto nivel para la creación