Área de Ciencias Básicas Periodo Académico 2016-1.

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- Un fabricante de llantas afirma qué, la duración promedio de sus neumáticos supera los 25,000 kilómetros, bajo condiciones normales de manejo y, para vehículos de cierto peso. Para evaluar esta afirmación se toma una muestra aleatoria de 15 llantas y se obtiene los siguientes resultados: duración promedio 27,000 Km y desviación estándar 3,000 Km. Asumiendo que la duración de los neumáticos tiene distribución normal

- Asumiendo α = 0.05, realice el análisis pertinente para evaluar lo expresado por el fabricante. Proporcione la significancia p. Interprete. 2p

Lo afirmado por el fabricante lo expresamos bajo las hipótesis

[pic 8]

Dado que la población es normal, la muestra es pequeña y no conocemos la varianza poblacional aplicaremos la estadística T

[pic 9]

Para el nivel de significancia α = 0.05, obtenemos el punto crítico para la zona de rechazo

T(14)0.95=1.761, con el cual el T calculado está en la zona de rechazo

Además P(TT(14) > 2.582)

Este resultado nos indica que la duración promedio encontrada en la muestra es significativamente mayor a 25000 km, es decir la muestra es una evidencia a favor de lo expresado por el fabricante.

- Obtenga una estimación interválica con 95% de confianza para la varianza de la duración de los neumáticos. 2p

Con los resultados de la muestra calculamos los límites del IC 95% la varianza, para lo cual obtenemos los percentiles

[pic 10]

[pic 11]

- Utilizando la información proporcionada por la muestra de 15 neumáticos, determine el tamaño de muestra necesaria para que el error al estimar la duración promedio sea de 1000 km con 95% de confianza. 2p

Con el error y la confianza especificada calculamos el tamaño de muestra requerido[pic 12]

Es decir para tener un error de l000 km en la estimación al 95%, debemos utilizar una muestra de 35 llantas.

- En una muestra aleatoria de 200 residentes de un sector de cierta ciudad que conducen automóvil, 165 indicaron que emplean el cinturón de seguridad. Otra muestra de 250 residentes de otro sector de la misma ciudad, que conducen automóvil, reveló que 198 utilizan el cinturón de seguridad.

- ¿Existe alguna evidencia que indique una diferencia en el uso del cinturón de seguridad entre los conductores de automóviles de los dos sectores? Indique el nivel crítico de la prueba. 2p

Para compara el uso del cinturón de seguridad en los dos sectores, lo que haremos es comparar los porcentajes que usan el cinturón en cada sector, por lo que postulamos las hipótesis

[pic 13]

Resumen de las muestras

Sector

ni

xi

pi

1

200

165

0.825

2

250

198

0.792

Total

450

363

0.807

Calculamos la estadística Z para la comparación de proporciones

[pic 14]

Calculamos el nivel crítico o significancia p

p/2= = P(Z > 0.881) = 0.189, luego el nivel crítico p = 0.378 > 0.05

Encontramos que, si bien en el sector 1 hay mayor porcentaje que usa el cinturón de seguridad que en el sector, esta diferencia no alcanza significancia, por lo que concluimos que no hay evidencia de diferencia en el uso de cinturón de seguridad en los dos sectores (p > 0.05)

- Con 90% de confianza estime la diferencia de proporciones. Interprete. 2p

Con los resultados de las muestras calculamos los límites del IC 95% para P1-P2

[pic 15]

Li = -0.028

Ls = 0.094

Estos límites nos indican que con una probabilidad de 95% de confianza es probable que la diferencia, en los porcentajes que usan el cinturón de seguridad en los dos sectores, sea nula; es decir que no haya diferencia significativa entre los dos sectores respecto del uso del cinturón de seguridad.

Para todos los casos ofrezca sus conclusiones aplicadas al contexto.