“ACTIVIDAD 1.- ENSAYO TEMA 5.- SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD”
Enviado por Ledesma • 26 de Noviembre de 2018 • 1.912 Palabras (8 Páginas) • 679 Visitas
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[pic 17]
La ecuación también se puede expresar en forma matricial como
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Donde y son los vectores de desplazamiento y fuerza definidos en la ecuación y es la matriz de rigidez dada por [pic 19][pic 20][pic 21]
[pic 22]
Son de hacerse notar los siguientes aspectos de los coeficientes de influencia de rigidez:
- Dado que la fuerza requerida en el punto i para producir una deflexión unitaria en el punto y una deflexión cero en todos los demás puntos es la misma que la fuerza requerida en el punto para producir una deflexión unitaria en el punto y una deflexión cero en todos los demás puntos (teorema de reciprocidad de Maxwell), tenemos kij.[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]
- Los coeficientes de influencia de rigidez se pueden calcular aplicando los principios de estática y mecánica de sólidos.[pic 27][pic 28]
- Los coeficientes de influencia de rigidez para sistemas torsionales se pueden definir en función del desplazamiento angular unitario y el par de torsión que produce el desplazamiento angular. Por ejemplo, un sistema torsional de varios rotores, se puede definir como el par de torsión en el punto (rotor ) debido a un desplazamiento angular unitario en el punto y un desplazamiento angular cero en todos los demás puntos.[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]
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6.5 EXPRESONES DE ENERGIA POTENCIAL Y CINETICA EN FORMA MATRICIAL
Sea el desplazamiento de la masa y la fuerza aplicada en la dirección de en la masa en un sistema de n grados de libertad. La energía potencial elástica (también conocida como energía de deformación) del resorte está dada por[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]
[pic 39]
La energía potencial total se expresa como
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Puesto que
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La ecuacion se excribe como
[pic 42]
Energía cinética total
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Por otra parte, la expresión de la energía potencial, es una forma cuadrática definida positiva, pero la matriz [k] se define positiva sólo si el sistema es estable. Existen sistemas para los cuales la energía potencial es cero sin que los desplazamientos o coordenadas x1, x2, ..., xn sean cero. En estos casos la energía potencial será una función cuadrática positiva en lugar de definida positiva; en consecuencia, se dice que la matriz [k] es positiva. Un sistema para el cual [k] es positiva y [m] se define positiva, se conoce como sistema semidefinido.
6.6 COORDENADAS GENERALIZADAS Y FUERZAS GENERALIZADAS
Las ecuaciones de movimiento de un sistema vibratorio se pueden formular en varios sistemas de coordenadas. Como se explicó antes, se requieren n coordenadas independientes para describir el movimiento de un sistema de n grados de libertad. Cualquier sistema de n coordenadas independientes se conoce como coordenadas generalizadas, usualmente designadas por q1, q2, ..., qn. Las coordenadas generalizadas pueden ser longitudes, ángulos o cualquier otro conjunto de números que definan la configuración del sistema en cualquier momento de forma única. También son independientes de las condiciones de restricción.
Para ilustrar el concepto de coordenadas generalizadas, considere el péndulo triple que se muestra en la figura 6.3. La configuración del sistema puede ser especificada por las seis coordenadas (xj, yj), j 5 1, 2, 3. Sin embargo, estas coordenadas no son independientes sino que están restringidas por las relaciones:
[pic 44]
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Cuando en el sistema actúan fuerzas externas, su configuración cambia. La nueva configuración del sistema se obtiene cambiando las coordenadas generalizadas qj por dqj, j 5 1, 2, ..., n, donde n indica la cantidad de coordenadas generalizadas (o grados de libertad) del sistema. Si Uj significa el trabajo realizado al cambiar las coordenadas generalizadas qj en la cantidad dqj, la fuerza generalizada correspondiente Qj se define como
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Donde Qj será una fuerza (momento) cuando qj sea un desplazamiento lineal (angular).
6.7 USO DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE PARA DERIVAR ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Las ecuaciones de movimiento de un sistema vibratorio a menudo se pueden derivar de una forma sencilla en función de coordenadas generalizadas mediante las ecuaciones de Lagrange.
Si se introduce una coordenada y, por conveniencia, como se muestra en la figura 6.4(a), los componentes de desplazamiento del punto C se expresan como[pic 47]
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La diferenciación de las ecuaciones con respecto al tiempo proporciona las velocidades del punto C como
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La energía cinética del sistema T, se expresa como
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Donde . Utilizando las ecuaciones, se reescribe como[pic 54]
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6.8 ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE SISTEMAS NO AMORTIGUADOS EN FORMA MATRICIAL
Podemos derivar las ecuaciones de movimiento de un sistema de varios grados de libertad en forma matricial con las ecuaciones de Lagrange.
[pic 57]
donde es la fuerza generalizada no conservadora correspondiente a la i-ésima coordenada generalizada y es la derivada con respecto
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