APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS PARA EL DISEÑO Y LA REMODELACIÓN DEL “PUENTE SALINAS”

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La justificación del presente trabajo es conocer la ubicación más alta del arco del Puente Salinas, ubicado en el departamento de Amazonas, Chachapoyas.

Para ello trataremos de modelar el arco de dicho puente como si fuera una parábola y encontrar parámetros importantes como la altura máxima haciendo uso de la derivada matemática.

VISTA PANORAMICA DEL MAL ESTADO DEL PUENTE DE CACLIC

[pic 2]

6. FUNDAMENTO TEÓRICO:

6.1 Conceptos y definiciones básicas

- Ingeniero: Es el profesional capaz de diseñar, proyectar, ejecutar, supervisar, y gerenciar obras civiles con la eficiencia y responsabilidad social.

- Arquitecto: Es el profesional que se encarga de proyectar edificaciones o espacios urbanos, y velar por el adecuado desarrollo de su construcción, e interpreta las necesidades de los usuarios para plasmarlas en adecuados espacios arquitectónicos, formas habitables y construibles.

- Técnicos: Son las personas especializadas en un tema o aspecto como puede ser instalaciones eléctricas, son personas que han estudiado en un instituto o CEO.

- Obrero: Personas cuyo estudio no ha sido precisamente el adecuado, sin embargo ellos han llegado a tener muchas veces un conocimiento empírico, las necesidades muchas veces lo llevaron a trabajar y adquirieron conocimientos.

- Cliente: Es quien accede a un producto por medio de la transacción financiera (dinero) u otro medio de pago. En este caso: Es la municipalidad de Chachapoyas.

Parábola: Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto exterior a ella llamado foco.

6.2 Marco Teórico:

Parábola

- Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y = ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo»

- Variable Dependiente: altura máxima

- Variable independiente: Depende del ancho del rio en el lugar que se va a construir el puente,(viene a ser el largo del puente).

- Función: El valor de la primera depende exclusivamente de la segunda( x , y), donde los valores de “x” son el rango y los valores de “y” es el dominio.

Derivadas

Derivada de una función

Considerando la función f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se tiene que la derivada de la función f en el punto [pic 3] se define como sigue:

[pic 4]

si este límite existe, de lo contrario, [pic 5], la derivada, no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.

Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.

También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:

[pic 6]

La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de[pic 7]. El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.

No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.

Notación de Newton

La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la función:

[pic 8]

[pic 9]

Se lee «punto [pic 10]» o «[pic 11] punto». Actualmente está en desuso en Matemáticas puras, sin embargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una variable.

Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas que involucran la variable tiempo, como variable independiente; tales como velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones. Usualmente solo se emplea para las primeras y segundas derivadas.

Notación de Leibniz

Otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de[pic 12], se escribe:

[pic 13]

También puede encontrarse como [pic 14] ó [pic 15].

Se lee «derivada de [pic 16] ([pic 17] ó [pic 18] de[pic 19]) con respecto a [pic 20]». Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una función con respecto a otra como un cociente de diferenciales.

Con esta notación, se puede escribir la derivada de [pic 21] en el punto [pic 22] de dos modos diferentes:

[pic 23][pic 24]

S i, se puede escribir la derivada como [pic 25]

Las derivadas sucesivas se expresan como [pic 26][pic 27][pic 28]

Para la enésima derivada de [pic 29] o de [pic 30] respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es[pic 31]

la cual