Actividad 1. Estrategia de creatividad: input aleatorio

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Por ejemplo, el número 12 es divisible entre 2, 3, 4, 6, entre él mismo y 1. Entonces, se puede factorizar así:

Observa, ¿cuántos divisores tienen cada uno de los números anteriores? Si observas bien, unos números tienen más de dos divisores, otros solamente dos y esos dos son precisamente él mismo y la unidad. Puedes corroborarlo con cualquier número que se te ocurra y siempre sucederá una u otra opción. Entonces, podemos afirmar que para un número natural distinto de uno solo, puede haber dos posibilidades:

El número tiene más de dos divisores.

El número tiene únicamente dos divisores: él mismo y la unidad.

Cuando un número tiene más de dos divisores se llama número compuesto. Cuando tiene solo dos divisores se llama número primo.

Por tanto, podemos concluir que los números naturales se dividen en:

Los números primos desempeñan un papel muy importante, ya que cualquier entero mayor que 1 puede factorizarse como una multiplicación de números primos, o bien, lo que es llamado el teorema fundamental de la aritmética.

Por lo tanto, factorizar significa descomponer un número en una multiplicación de factores. Por lo cual, queremos que aprendas a factorizar un número en factores primos, ya que es de gran utilidad como lo verificarás más adelante. Por ello, vamos a aprender cómo hacerlo.

Ejemplo: factorizar en factores primos el número 12 significa descomponerlo en sus factores primos, que son: 2 x 2 x 3. Como el 2 se repite dos veces se puede escribir: 22 x 3. Se dice que 22 está escrito en forma de potencia, que veremos más adelante. Por lo pronto, es importante que te familiarices con esta forma de representar los números.

Factorización en primos de un número natural

Factoricemos juntos en números primos el número natural 24:

Solución:

Primero se analiza si el 24 es divisible entre 2. Si no es posible, entonces entre 3, si no, entre 5, y así sucesivamente.

El 24 es divisible entre 2 porque la última cifra es par, 24: 2 = 12.

Ahora se analiza si este 12 es divisible entre 2. Si no es posible, entonces entre 3, si no, entre 5 y así sucesivamente.

El 12 es divisible entre 2 porque la última cifra es par, 12: 2 = 6.

Ahora se analiza si el 6 es divisible entre 2. Si no es posible, entonces entre 3, si no, entre 5, y así sucesivamente.

El 6 es divisible entre 2 porque la última cifra es par, 6: 2 = 3.

Como el 3 es primo solo puede dividirse entre sí mismo y la unidad, sin embargo, nos interesa dividirlo entre sí mismo, es decir, 3: 3 =1. Cuando se llega a 1 se termina la factorización.

En conclusión, el 24 queda expresado en factores primos de la siguiente manera:

24 = 23 x 3.

Ahora te toca a ti:

Factoriza en primos el número natural 525:

Factoriza en primos el número natural 525:

a. 525= 52 x 2 x 4[pic 1]b. 525= 52 x 3 x 7c. 525= 52 x 1 x 3

¡Muy bien!, ya sabes factorizar en primos los naturales.

Obtuviste 1 de 1.

Máximo Común Divisor (MCD)

Ahora considera la siguiente situación:

Una tienda de telas desea evitar pérdidas de dinero sobre los retazos que le van quedando, por lo que ha decidido dividirlos de tal manera que todos sean del mismo largo, sin que le sobre o le falte tela, y así evitar el desperdicio. Con unos retazos que sobran, de 240, 168 y 48 cm, desea confeccionar pañuelos porque la tela tiene las caracteristicas requeridas para este producto. ¿Cuál será la máxima medida en que debe dividirlos para que todos sean del mismo largo?

Este problema muestra la importancia de saber encontrar el máximo común divisor de estos tres números, ya que esta es la forma como se puede solucionar el problema. El Máximo Común Divisor (MCD), llamado también Máximo Factor Común (MFC) de dos o más números, es el más grande de sus divisores (o factores) comunes. Se escriben con mayúscula para distinguirlos del mínimo común múltiplo (mcm), que veremos al terminar este tema. Con el MCD puedes resolver el caso de los pañuelos.

Primero: para encontrar el MCD, fíjate en el siguiente procedimiento. Necesitamos realizar la descomposición en factores primos, ya que esta determina cuántos divisores tiene cada uno de estos números. Esta descomposición ya la sabemos hacer.

[pic 2]

Segundo: ya que tenemos los divisores (factores primos) de cada número, analizamos cuáles son los divisores comunes, llamados tambiénfactores comunes.

Vamos a escribirlos juntos para que nos sea más fácil determinarlos.

240 = 24 x 3 x 5

168 = 23 x 3 x 7

48 = 24 x 3

Observamos que los divisores o factores comunes de estos tres números son 2 y 3, ya que 5 y 7 no son comunes a los tres números en consideración.

Tercero: el máximo común divisor de ellos es 23 • 3 = 24. El número 3 está en todas las descomposiciones, pero, ¿por qué 23?

Tanto en el número 240 como 48 el 24 podemos expresarlo como 23 x 2 ¿Te das cuenta que las matemáticas son un juego y que pueden ajustarse a nuestras necesidades? De esta manera, podemos reescribir la descomposición en factores de la siguiente manera:

240 = 23 x 2 x 3 x 5

168 = 23 x 3 x 7

48 = 23 x 2 x 3

En 240, 168 y 48 tenemos que el MCD es 23 x 3. Fíjate que 5 y 7 solo están presentes en un caso, no en los tres, por lo que no son divisores ni factores comunes.

Entonces, la respuesta al problema planteado es que los retazos deben tener