Aproximacion de poisson a binomial

...

Tomando el límite queda demostrado (C).

3) De (C) resulta:

[1−P0(t)] / t → λ cuando t→0 (D1)

Aplicando este resultado en III) resulta:

P1(t) / t → λ cuando t→0 (D2)

Finalmente observamos que 0 ≤ P0(t) + P1(t) + Pk(t) ≤ 1. De donde:

0 ≤ Pk(t) / t ≤ P1(t) / t + [1−P0(t)] / t . De donde:

Pk(t)/ t → 0 cuando t→0 (k≥2) (D3)

4) A partir de (B) obtenemos:

[pic 5]

Haciendo s→0 y teniendo en cuenta (D1), (D2) y (D3) resulta:

P’k(t) = −λ Pk(t) + λ Pk−1(t) ⇒ eλt [P’k(t) +λ Pk(t)] = λ eλt Pk−1(t)

El primer miembro es la derivada de eλt Pk(t). Integrando resulta:

[pic 6]

Para k=1 se obtiene P1(t) = λt e−λt. Por inducción resulta (A)

Interpretación de λ

Llamemos ν(t) = número de eventos en el intervalo (0,t]. Para cada t, ν(t) es una variable aleatoria con distribución Poisson. Tenemos que E{νt} = λt. Por lo tanto, λ es el número esperado de eventos que se presentan en la unidad de tiempo.

Proceso Poisson (continuacion)

En el proceso Poisson llamemos τn = instante en que ocurre el enésimo evento. Hallaremos la función densidad de τn computando (1/Δx) lim P{xn≤x+Δx} cuando Δx→0. Llamemos:

Aj= {j eventos ocurren en (0,x] }

Bk= {Por lo menos k eventos ocurren en (x,x+Δx]}

Tenemos que P{xτn≤x+Δx}= P{A0Bn + A1Bn−1 + ... + An−1B1}

= P{A0Bn + ... + An−2B2} + P{An−1B1}

Observemos que P{B2} = 1−P0(Δx)−P1 (Δx). Por lo tanto, P{B2}/Δx →0 cuando Δx→0.

Como A0Bn + ... + An−2B2 ⊂ B2 resulta que P{A0Bn + ... + An−2B2}/Δx→0.

Por otra parte, P{B1An−1}= [1−P0(Δx )] e−λx (λx)n−1 / (n−1)!

En consecuencia la función densidad de τn está dada por:

[pic 7]

La distribución gamma

La función gamma se define por:

[pic 8]

Observamos que:

Γ(1) = 1

Por integración por partes resulta la ecuación funcional:

Γ(a) = a Γ(a−1)

De donde se obtiene para n entero positivo:

Γ(n) = (n−1)!

De la definición obtenemos:

Γ(1/2) = ∫e−x x−1/2 dx . Usando la sustitución x=y2/2: Γ(1/2) = √2 ∫ exp(−y2/2) dx

Γ(1/2) = √π

Además:

Γ(3/2) = ½ Γ(1/2) = ½ √π

Más generalmente:

[pic 9]

[pic 10]

Para cualquier real a > 0 usaremos la notación:

[pic 11]

[pic 12]

Ga(x) es una funcion distribución. Su momento de orden k resulta:

(1/Γ(a)) ∫ xk e−x xa−1 dx = Γ(a+k) / Γ(a) = a (a+1) ... (a+k−1)

La función Ga(λx) para x≥0, donde λ es un parámetro positivo, se la denomina función distribución gamma . Su correspondiente función densidad λga(λx) está dada por:

[pic 13] (a>0, λ>0)

El caso a=1 es de particular importancia y se llama distribucion exponencial.

Advirtamos que si la variable aleatoria ξ tiene una distribución gamma, es decir , P{ξ≤x}= Ga(λx) entonces λξ tiene la distribución Ga(x). De esto se deduce que:

E{λξ}= a y E{λ2ξ2}= a(a+1) ⇒ E{ξ}= a/λ y Var{ξ}= a/λ2.

Ejercicio 1

Consideremos una sucesión de ensayos de Bernoulli y sea νn = número de exitos en n ensayos. Hallar el coeficiente de correlación ρ(νn , νm ) (n,m= 1,2,...) definido por:

[pic 14]

Ejercicio 2

Sea ξ una variable aleatoria con distribución Poisson, es decir, P{ξ=k} = e−a ak / k! Hallar E{ξ}, Var {ξ} y E{ C(ξ,r) } para r = 0,1,2,...

Ejercicio 3

Consideremos las variables aleatorias ξ1 , ξ2 , ξ3 con la distribución común P{ξi=n} = pqn−1. Hallar P{ξ1 + ξ2 = n} y P{ξ1 + ξ2 + ξ3 = n}.

Ejercicio