COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE YUCATÁN.

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PROBABILIDAD CONDICIONAL:

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara (moneda) y luego un 6 (dado)? Pues eso se escribiría como P (6 | Cara).

El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.

Dado un espacio de probabilidad [pic 5]y dos eventos (o sucesos) [pic 6]con[pic 7], la probabilidad condicional de A dado B está definida como:

[pic 8]

EJERCICIOS:

- Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A [pic 9]B)= 1/4. Determinar:

- [pic 10]

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- Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A [pic 20]B) = 1/5. Determinar:

- [pic 21]

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- En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

[pic 33]

p(chica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 = 0.69

- De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:

- Las dos sean copas

[pic 34]

- Al menos una sea copas

[pic 35]

- Una sea copa y la otra espada

[pic 36]

- Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

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- Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.

- ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés?

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[pic 39]

- ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?

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- Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

- ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés?

[pic 41]

[pic 42]

- ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?

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- Teorema de Bayes

El teorema de Bayes, en la teoría de la probabilidad, es una proposición planteada por el filósofo inglés Thomas Bayes (1702-1761)[1] en 1763,[2] que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir, que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza. Muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

Con base en la definición de Probabilidad condicionada, obtenemos la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:

[pic 44]

Esta fórmula nos permite calcular la probabilidad condicional [pic 45]de cualquiera de los eventos[pic 46], dado[pic 47]. La fórmula ha