Como se da un nuevo Pensamiento matematico

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Repita el ejercicio anterior, con la misma operación *, pero en cada uno de los siguientes conjuntos:

Lh ={(x,y) tales que y=h.x, con x є R}, donde h es el último digito de su código

Vamos a garantizar que la operación * en el conjunto L5 ={(x,y) tales que y=3.x, con x є R} , cumple con las propiedades Calusurativa, Asociativa, Conmutativa, elemento neutro, elemento opuesto, teniendo en cuenta que la operación * en el conjunto L3 funciona así:

(r,t)* (m,n)=(r+m,t+n)

Antes de iniciar la demostración, es recomendable entender quién es el conjunto L3 y también, como debemos aplicar la operación *, para ello, nos daremos los siguientes ejemplos.

- Los elementos de L son parejas ordenadas como (1,3), (2,6),(-1,-3), (-7, -21). …..etc.

- La operación * funciona asi: (1,3)*(-7,-21)=(1+(-7),3+(-21))=(-6, -18)

(4,12)*(-1,-3)=(4+(-1), 12+(-3))=(3,9)

Nota: En la demostración con ejemplos, es repetir lo mismo que se hizo en la demostración general, pero reemplazando las letras con los números que correspondan. (Observe como se hizo con la propiedad Clausurativa).

PROPIEDAD CLAUSURATIVA

Demostración general

Demostración con ejemplos

Tomemos elementos cualesquiera (r,t), (m,n) del conjunto L3 , es decir, (r,t)=(r,3.r) y también (m,n) =(m,3.m)

Tomemos elementos cualesquiera (3,9), (5,15) del conjunto L3 , es decir, (3,9)=(3,3.3) y también (5,15) =(5,3.5)

Debemos ver que (r,t)* (m,n) es un elemento de L3 , es decir, tienen la misma forma de los elementos de L3

Por la definición de elementos de L3

(r,t)* (m,n) =(r,3.r)* (m,3.m)

(3,9)* (5,15) =(3,3.3)* (5,3.5)

Por la definición de la operación *

Por la definición de la operación *

(r,t)* (m,n) =(r+m,3.r+3.m)

(3,9)* (5,15) =(3+5,3.3+3.5)

Por la propiedad distributiva de la multiplicación y suma de números reales (R)

Por la propiedad distributiva de la multiplicación y suma de números reales (R)

(r,t)* (m,n) =(r+m,3.(r+m))

(3,9)* (5,15) =(3+5,3.(3+5))

Como la suma (+) es clausurativa en los números reales, entonces, r+m es un número real y también 3.(m+r), por ello

Como la suma (+) es clausurativa en los números reales, entonces, 3+5 es un número real y también 3.(5+3), por ello

(r,t)* (m,n) =(r+m,3.(r+m)) tiene la forma de los elementos de L3

(3,9)* (5,15) =(3+5,3.(3+5)) tiene la forma de los elementos de L3

Luego, (r+m,3.(r+m)) pertenece a L3 , es decir,

Luego, (3+5,3.(3+5)) pertenece a L3 , es decir,

(r,t)* (m,n) є L3

(3,9)* (5,15) є L3

Por lo tanto se cumple la propiedad Calusurativa de la operación * en el conjunto L3.

PROPIEDAD ASOCIATIVA

Demostración general

Demostración con ejemplos

Demostración general

Tomemos elementos cualesquiera (r,t), (m,n), (p,q) del conjunto L3

Tomemos elementos cualesquiera (2,6), (4,12), (6,18) del conjunto L3

luego , (r,t)=(r,3.r) y (m,n) =(m,3.m) y (p,q) =(p,3.p)

luego , (2,6)=(2,3.2) y (4,12) =(4,3.4) y (6,18) =(6,3.6)

Debemos ver que [(r,t)* (m,n)]*(p,q) =( r,t)*[ (m,n)*(p,q)]

Debemos ver que [(2,6)* (4,12)]*(6,18) =(2,6)*[ (4,12)*(6,18)]

Empezamos notando que por la definición de elementos de L5

[(r,t)* (m,n)]*(p,q) =[(r,3.r)* (m,3.m) ]*(p,3.p)

(r,t)*[ (m,n)*(p,q)]=(r,3.r)*[(m,3.m)*(p,3.p)]

[(2,6)* (4,12)]*(6,18) =[(2,3.2)* (4,3.4) ]*(6,3.6)

(2,6)*[(4,12)*(6,18)]=(2,3.2)*[(4,3.4)*(6,3.6)]

Por la definición de la operación * en el conjunto L3

[(r,t)* (m,n)]*(p,q) =[(r+m), (3.r+3.m) ]*(p,3.p)

(r,t)*[(m,n)*(p,q)]=(r,3.r)*[(m+p),3.m+(3.p)]

[(2,6)* (4,12)]*(6,18) =[(2+4), (3.2+3.4) ]*(6,3.6)

(2,6)*[(4,12)*(6,18)]=(2,3.2)*[(4+6),3.4+(3.6)]

Por la definición de la operación *

[(r,t)* (m,n)]*(p,q) =((r+m)+p, (3.r+3.m) +3.p))

(r,t) *[(m,n)*(p,q)]=(r+(m+p),3.r+(3.m+3.p))

[(2,6)* (4,12)]*(6,18) =((2+4)+6, (3.2+3.4) +3.6))

(2,6)*[(4,12)*(6,18)]=(2+(4+6),3.2+(3.4+3.6))

Por la propiedad Asociativa de la suma de números reales (R)

[(r,t)* (m,n)]*(p,q) =(r+(m+p),3.r+(3.m+3.p)

(r,t)*[ (m,n)*(p,q)]=(r+(m+p),3.r+(3.m+3.p))

[(2,6)* (4,12)]*(6,18) =(2+(4+6),3.2+(3.4+3.6)

(2,6)*[(4,12)*(6,18)]=(2+(4+6),3.2+(3.4+3.6))

Por lo anterior claramente vemos que se cumple la propiedad asociativa

PROPIEDAD CONMUTATIVA

Demostración