Control optimo ejercicios resueltos.
Enviado por Sara • 9 de Abril de 2018 • 1.322 Palabras (6 Páginas) • 865 Visitas
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x0 = 0.570, f(x0) = 6.577 ; x1 = 1, f(x1) = 8.5; x2 = 2, f(x2) = -104
[pic 21]
[pic 22]
De igual forma repetimos el procedimiento para la tercera iteración demostrando que el valor óptimo converge cada vez más a 8.697 en 0.920.
i
x0
F(x0)
x1
f(x1)
x2
f(x2)
x3
f(x3)
1
0
0
1
8.5
2
-104
0.57
6.57
2
0.57
6.57
1
8.5
2
-104
0.812
8.44
3
0.812
8.44
1
8.5
2
-104
0.907
8.695
- Encuentre el valor de x que maximiza f(x), utilizando el método de Newton. Utilice un valor inicial de x0 = 2 y realice tres iteraciones.
R/ Comenzamos calculando la primera y segunda derivada de la función:
[pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
Reemplazamos en
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
Para la segunda iteración tenemos
[pic 29]
[pic 30]
De igual forma repetimos el procedimiento para la tercera, cuarta y quinta iteración demostrando que el valor óptimo converge cada vez más a 8.697 en 0.920.
i
x
f(x)
1
2
-104
2
1.583
-17.166
3
1.26
4.076
4
1.04
8.24
5
0.938
8.686
- Utilizar una herramienta computacional (Scilab, Matlab, GAMS, o Excel) para encontrar el máximo de la función f(x).
R/ Para calcular el punto en el que se produce el mínimo o máximo de una función f(x) en un intervalo [a, b], se puede usar la orden fminbnd de MatLab. Para calcular el mínimo se usa la función f(x) y para el máximo usamos –f(x).
En nuestro caso hallaríamos el máximo de la función de la siguiente manera.
[pic 31]
Comprobando los datos obtenidos teóricamente.
- Analizar las ventajas y desventajas de la búsqueda de la sección dorada, interpolación cuadrática y el método de Newton, para localizar un valor óptimo en una dimensión.
R/ El método de la sección dorada o razón aurea es una técnica, de búsqueda para una sola variable, sencilla y de propósito general. En este método en la función se evalúa dos puntos interiores de acuerdo con la razón de oro y se sigue acortando el intervalo de evaluación en cada iteración. Ahora, esta es la ventaja real del uso de este método. Los puntos originales se han escogido mediante la razón dorada, no se tienen que recalcular todos los valores de la función en la siguiente iteración.
La interpolación cuadrática tiene como ventaja la aplicación de un polinomio de segundo grado que con frecuencia proporciona una buena aproximación de la cercanía de un valor óptimo. Esto pues hay únicamente una ecuación cuadrática que pasa por tres puntos. De esta forma, si se tienen tres puntos que contienen un punto óptimo, se ajusta una parábola a los puntos, después se puede derivar e igualar a cero, y así obtener una estimación del óptimo.
En el caso del método de Newton, la ventaja más notoria es que no trabaja con valores iníciales, mientras que sus desventajas son más importantes. Este método diverge según sea la naturaleza de la función y la calidad del valor inicial. De esta forma es recomendable usarla sólo cuando se está cerca del valor óptimo. De no ser así se requerirían de muchas iteraciones para encontrar el valor que maximiza la función.
- Leer de la página 26 a la 45 del texto guía de Optimización que se encuentra en el repositorio.
- Dada la función [pic 32]
- Resolver los siguientes problemas:
- Efectuar una iteración del método de ascenso de máxima inclinación para localizar el máximo con los valores iníciales de x = 0 y y = 0. Emplee bisección para encontrar el tamaño óptimo de paso en la dirección de búsqueda del gradiente.
R/ Encontramos
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