Cálculo diferencial e integral.

...

FIGURA 43[pic 47]

[pic 48][pic 49]

[pic 50][pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

FUENTE (Cálculo de Larson 8va Edición)

4.5 Definición de extremos relativos

1. Si hay un intervalo abierto que contenga a c en el que es un máximo, entonces a se le llama máximo relativo de , o también suele decirse que tiene un máximo relativo en ( [pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60]

2. Si existe un intervalo abierto que contenga a c en el que es un mínimo, entonces a se le llama mínimo relativo de , o también puede decirse que f tiene un mínimo relativo en (.[pic 61][pic 62][pic 63][pic 64]

Ejemplos:

1. halle el valore de la derivada en cada uno de los extremos que se muestran en la figura 3.3

a) la derivad de es[pic 65]

Derivación usando la regla del cociente [pic 66]

Simplificación[pic 67]

En el punto (3, 2) el valor de la derivada es [pic 68]

FIGURA 44[pic 69]

[pic 70][pic 71][pic 72]

[pic 73]

[pic 74]

[pic 75]

[pic 76]

[pic 77]

FUENTE (Cálculo de Larson 8va Edición)

b) En x = 0, la derivada de │x│no existe debido a que los siguientes limites unilaterales difieren [pic 78]

= limite por la izquierda[pic 79][pic 80]

= limite por la derecha[pic 81][pic 82]

FIGURA 45

[pic 83]

[pic 84][pic 85]

[pic 86][pic 87]

[pic 88]

[pic 89]

[pic 90][pic 91]

[pic 92]

[pic 93]

FIGURA 45 (Cálculo de Larson 8va Edición)

c) La derivada de es[pic 94]

En el punto (el valor de la derivada es . En el punto (3, el valor de la derivada es .[pic 95][pic 96][pic 97][pic 98]

FIGURA 46

[pic 99]

[pic 100][pic 101]

[pic 102][pic 103]

[pic 104][pic 105]

[pic 106][pic 107][pic 108][pic 109]

[pic 110][pic 111]

[pic 112]

FUENTE (Cálculo de Larson 8va Edición)

En el ejemplo 1, observe que cada uno de los extremos relativos, la derivada es cero o no existe. A los valores de x en estos puntos especiales se les llama números críticos.

Definición de números críticos

Sea definida en c si o si no es derivable en c, entonces c es un numero crítico de .[pic 113][pic 114][pic 115][pic 116]

FIGURA 47

[pic 117]

[pic 118][pic 119][pic 120][pic 121][pic 122]

[pic 123]

[pic 124][pic 125]

[pic 126][pic 127][pic 128]

[pic 129][pic 130][pic 131][pic 132][pic 133][pic 134]

FUENTE (Calculo de Larson 8va Edición)

Los extremos relativos se presentan únicamente en números críticos

Si f tiene un mínimo relativo o un máximo relativo en , entonces es un número crítico de.[pic 135][pic 136][pic 137]

Demostración

Caso 1: Si no es derivable en x = c, entonces, por definición, c es un numero critico de y el teorema es valido.[pic 138][pic 139]

Caso 2: Si f es derivable en x = c, entonces (c) será positivo, negativo, o 0. Suponga que es positivo. Entonces[pic 140][pic 141]

[pic 142]

Esto quiere decir que un intervalo (a, b) que contiene a c y en el que

, para toda en (a, b)[pic 143][pic 144]

Este cociente es positivo, los signos del denominador y del numerador deben coincidir. Esto implica las desigualdades siguientes para los valores de x en el intervalo (a, b)

A la izquierda de c: y ⇨ no es un mínimo relativo[pic 145][pic 146][pic 147]

A la derecha de c: y ⇨ no es un máximo relativo[pic 148][pic 149][pic 150]

Así que, la suposición de que contradice la hipótesis que sea un extremo relativo. Si se supone que se obtiene una contradicción similar, de manera que solo queda la posibilidad de que Por lo tanto, por definición, c es un número critico de f y el teorema es válido.[pic 151][pic 152][pic 153][pic 154][pic 155]

Sabiendo que los extremos relativo de una función solo pueden presentarse en los números críticos de la función. Pueden utilizarse las siguientes indicaciones para encontrar extremos en un intervalo cerrado.

1. Encontrar los números críticos de en (a, b)[pic 156]

2. Evaluar en cada uno de los números críticos de (a, b).[pic 157]

3.

...