Diferenciación Numérica

...

[pic 18] (8)

que se puede resolver para

[pic 19](9)

A esta relación se le llama diferencias divididas finitas hacia adelante de segundo orden. Se pueden usar procedimientos similares para obtener las versiones hacia atrás y centrales.

Las aproximaciones a tercer orden de las diferencias divididas hacia adelante, hacia atrás y centrales también pueden obtenerse (véase en fórmulas más adelante). En todos los casos, las diferencias centradas dan una mejor aproximación. [7].

- Graficas de aproximaciones con diferencias divididas finitas de la primera derivada.:

[pic 20]

Figure 3: Grafica de aproximaciones con diferencias finitas divididas de la primera derivada hacia delante

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Figure 4: Grafica de aproximaciones con diferencias finitas divididas de la primera derivada hacia atras

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Figure 5: Grafica de aproximaciones con diferencias finitas divididas de la primera derivada central

- Integración numérica

- ¿ Que es la integración numérica?

En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales.

El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utilizan. [8].

- Reglas de Newton–Cotes:

Si en vez de aproximar la funcion f linealmente se aproxima por medio del polinomio cuadratico P2 que interpola a f con nodos en los puntos a, c = (a + b)/2, b entonces el valor de la integral de f sobre el intervalo [a, b ] se aproximar´a por medio de:

[pic 23](10)

Escribiendo el polinomio P2 en su forma de Lagrange se obtiene fácilmente que su integral sobre [a, b ] resulta ser:

[pic 24](11)

Para determinar el error en S(f) integraremos el error en el polinomio interpolador de segundo grado:

[pic 25](12)

Para calcular esta integral no podemos aplicar directamente el teorema del valor intermedio del cálculo integral ya que ahora la función (x − a)(x − c)(x − b) cambia de signo en el punto c. Sorteamos este problema por medio de la función. [9].

- Regla del rectángulo

El método más simple de este tipo es hacer a la función interpoladora ser una función constante (un polinomio de orden cero) que pasa a través del punto (a, f(a)). Este método se llama la regla del rectángulo: [10].

[pic 26](13)

- F´ormulas de cuadratura. Orden:

Las fórmulas que proporcionan una aproximación del valor de una integral definida se conocen con el nombre de fórmulas de cuadratura. En sus versiones más sencillas, estas fórmulas aproximan el ´área bajo la curva por el ´área, “parecida”, de un paralelogramo. Esto solo proporciona una buena aproximación si la base del paralelogramo es pequeña. Por ello, las formulas verdaderamente ´útiles aproximan la integral definida mediante una suma finita de áreas de paralelogramos de “base pequeña”.

En general, las fórmulas de cuadratura se pueden escribir en la forma:

[pic 27](14)

Variando unas de otras en la forma de elegir los puntos {x1

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Figure 6: El ´área bajo la curva se aproxima por el área del rectángulo de base el segmento [a, b] y altura f(a).

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Figure 7: El ´área se aproxima mediante una suma finita de áreas de rectángulos, pero de base “pequeña”.

Para determinar el grado de exactitud de una fórmula de cuadratura, es decir el error que se comete al sustituir la integral definida por la suma finita

Se suele utilizar el concepto de orden. Se dice que una fórmula de cuadratura es de orden m (o bien que es exacta para polinomios de grado m) si el error de dicha fórmula verifica:

[pic 30](15)

Lo cual significa que la formula en cuestión proporciona el valor exacto de la integral definida cuando se utiliza con una función f que es un polinomio de grado menor o igual que m y no proporciona, en general, el valor exacto para polinomios de grado mayor que m.

- Conclusions

Se presentó un sin número de fórmulas para cada uno de los métodos los cuales han sido desarrollados en tu totalidad para que así se logre alcanzar y llegar a una total entendimiento hacia las demás personas. Además de ello para que en un futuro o incluso ya en este momento lo pongan en práctica este tipo de métodos para que así logren hallar una respuesta mucho más rápido y con un grado mínimo de error %.

Este tipo de métodos son utilizados por la mayoría de los ingenieros en el campo laboral por ende son de una vital importancia estos métodos ya que se puede deducir que son utilizados en una mayor parte en la resolución de problemas.

References

- G. Eason, B. Noble, and I.N. Sneddon, “On certain integrals of Lipschitz-Hankel type involving products of Bessel functions,” Phil. Trans. Roy. Soc. London, vol. A247, pp. 529-551, April 1955. (references)

- J. Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, 3rd ed., vol. 2. Oxford: Clarendon, 1892, pp.68-73.

- I.S. Jacobs and C.P. Bean, “Fine particles, thin films and exchange anisotropy,” in Magnetism, vol. III, G.T. Rado and H. Suhl, Eds. New York: Academic, 1963, pp. 271-350.

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