Diseño de controladores PI & PID

...

ζ: relación de amortiguamiento

ωn: frecuencia natural no amortiguada

El polinomio de (11) será entonces el denominador deseado, por lo tanto, se deben igualar los polinomios F(s) y Dd(s)

[pic 19]

[pic 20][pic 21]

Como lo que se tiene en (12) son polinomios igualados, debe cumplirse que los coeficientes de ambos polinomios sean iguales. Por tal razón, se tiene que cumplir que:

[pic 22][pic 23][pic 24]

Luego se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas, siendo las incógnitas los parámetros del controlador PI: Kc y Ti, al despejarlos de (13) y (14) resultan las expresiones:[pic 25]

En este caso, los parámetros del controlador deben ser tales que satisfagan los requisitos dados, para que el sistema tenga una respuesta en el tiempo (ante una entrada escalón) determinada. Tales requisitos son, en este caso, un sobre nivel porcentual y tiempo de estabilización máximos. Como ya se dijo anteriormente los parámetros dan cuenta de cómo será, aproximadamente, la respuesta en el tiempo de un sistema de control que tenga una función de transferencia como la especificada en (10).[pic 27][pic 26]

Cuando ωn es fija, se tienen cuatro casos [2]

• 0

• ζ = 1: respuesta críticamente amortiguada

• ζ > 1: respuesta sobre amortiguada

• ζ = 0: respuesta oscilatoria

Las diferentes formas de las respuestas se ilustran en la fig.2.2.

En estos sistemas también se dan definiciones para los diferentes parámetros de una respuesta en el tiempo, ante una entrada escalón, tales como; tiempo muerto, tiempo de subida, sobre nivel porcentual, tiempo de estabilización y demás. En este caso nos interesan solamente los que ya se mencionaron antes. El sobre nivel porcentual está definido como [2]

El tiempo de estabilización es de difícil cálculo exacto, por ello suele definirse como el tiempo que tardan las exponenciales envolventes en entrar y permanecer en una banda de tolerancia determinada. Para una banda de tolerancia del 2% el tiempo de estabilización será aproximadamente [2]:

[pic 28]

De (17) y (18) se pueden despejar ζ y ωn respectivamente, y se obtiene:

[pic 29]

[pic 30]

Usando los valores requeridos para el diseño del controlador en (19) y (20) se puede hallar el valor de para posteriormente reemplazarlos en las expresiones encontradas para los parámetros del controlador (15) y (16). Más adelante se mostrará esto.[pic 31]

El proceso anterior no es el único modo que existe para hallar los parámetros del controlador, a continuación, se explica otra manera de hacerlo.

Si en (7) se reemplazan las expresiones respectivas de Gc(s) y Gp(s), dadas por (1) y (6) respectivamente, se encuentra que la función de transferencia para el sistema de control de lazo cerrado estará dada por:

[pic 32]

Además, si en (21) se reemplazan los parámetros del controlador (15) y (16) se llega a:

[pic 33]

De (21) se ve que la función de transferencia del sistema tiene un cero, además de los dos polos. Para lograr que la respuesta [pic 34]del sistema de control sea similar a la del sistema de segundo orden de (10), la influencia del cero del controlador sobre la respuesta del sistema debe ser mínima. Esto es cierto solo si este cero se encuentra muy alejado hacia la izquierda de los polos dominantes en el plano complejo [1].

Se utilizará la constante de tiempo del proceso τ para normalizar la escala de tiempo del sistema, escribiendo una nueva omega, así:[pic 35]

Por lo tanto, al reemplazar la nueva omega de (23) en los parámetros del controlador (15) y (16), se obtienen los parámetros normalizados:[pic 36][pic 37][pic 38]

Para evaluar la influencia del cero del controlador sobre las características dinámicas del sistema de control realimentado, se tienen unas gráficas en las cuales se determinó el sobre nivel máximo Mp, y el tiempo de estabilización al 2% ta2, para 0,5 ≤ ω∗ ≤ 10,0 y 0,40 ≤ ζ ≤ 0,95.

En la fig. 2.4 se muestra la variación del sobre nivel máximo Mp, el cual, como se aprecia, depende de la razón de amortiguamiento ζ y de la frecuencia natural ω∗. Además, se puede observar que la influencia de ω∗ es mayor cuando esta tiene valores bajos.

En la fig. 2.5 se muestra como se relaciona el sobre nivel máximo Mp con el tiempo de estabilización normalizado ta2n.[pic 39]

Partiendo de los criterios de diseño dados, en este caso, sobre nivel y tiempo de estabilización, se pueden hallar valores tanto para ζ como para ω∗, haciendo uso de las gráficas de las fig. 2.4 y 2.5 para posteriormente hallar los parámetros del controlador utilizando las expresiones normalizadas que se especifican en (24) y (25).

Con esto se tienen entonces, dos maneras diferentes para ubicar los polos, pero dichos procesos están sujetos a ecuaciones o gráficas, lo cual hace que el proceso no sea realmente de asignación o ubicación de polos de quien diseña el controlador, sino que los polos tendrán valores dependientes de la respuesta deseada en el tiempo.[pic 40]

Se explicará a continuación otro método, donde el diseñador tiene más libertad, ya que la ubicación de los polos no estará asociada directamente a fórmulas, sino a conjeturas bien elaboradas, en cuanto a la relación que tiene la ubicación determinada de los polos con la respuesta en el tiempo del sistema controlado.

Del denominador deseado Dd(s) dado por (11) puede verse que sus polos son:

Además de la expresión matemática de los polos, se tiene la representación de estos en el plano s, la cual se muestra en la fig. 2.6. En tal figura se ve que la frecuencia es la distancia desde el origen hasta la ubicación de uno de los polos del sistema, de allí se deduce además que:[pic 41]

Sería ideal tener sistemas que presenten