EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

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4 Resolución (Ec 1 con Ec 2)

2x + 3y = 600

[X + y = 500] (-2)

2x + 3y = 600

-2x – 2y = -1000

Y = -400 (no es posible dado que es resultado negativo)

Ec 2 con Ec 3

x + y ≤ 500

2x + y ≤ 400

[X + y = 500] (-)

2x + y = 400

-x – y = -500

2x + y = 400

X = -100 (no es posible dado que el resultado es negativo)

Ec 1 con Ec 3

2x + 3y = 600

2x + y = 400 (-)

2x + 3y = 600

-2x – y = -400

2 y = 200

Y = 100

Sustituir Y = 100 en cualquiera de las ecuaciones

Al sustituir en la ecuación 1 tenemos que

2x + 3y = 600

2x + 3(100) = 600

2x + 300 = 600

2x = 600 – 300

2x = 300

X = 150, lo cual es factible dado que no se supera el número de cuadernos, bolígrafos o carpetas disponibles.

Al sustituir en la ecuación 2 tenemos que

X + y = 500

X + 100 = 500

X = 500 – 100

X = 400, lo cual no es posible dado que 400 paquetes 1 implicarían más cuadernos y bolígrafos de los disponibles.

Al sustituir en la ecuación 3 tenemos que

2x + y = 400

2x + 100 = 400

2x = 400 – 200

2x = 200

X = 100, lo cual es factible también al no superar las restricciones.

De los resultados obtenidos tenemos dos soluciones posibles:

- X = 100, y = 100

- X = 150, y = 100

Como ambas cumplen con las restricciones, podemos tomar la opción 2 ya que es la que nos permitirá mayores ganancias, así como utilizar todo el material disponible.

Sustituyendo los valores en la función objetivo, tenemos que:

F = 6.5x + 7y

F = 6.5 (150) + 7(100)

F = 975 + 700

F = 1,675, máximo beneficio

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Ejercicio 3

En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

1 Elección de las incógnitas.

x = X

y = Y

2 Función objetivo

f(x,y) = 10x + 30y

3 Restricciones

X Y Mínimo

A 1 5 15

B 5 1 15

x + 5y ≥ 15

5x + y ≥ 15

x ≥ 0

y ≥ 0

4 Resolución

x + 5y = 15

[5x + y = 15] (-5)

x + 5y = 15

-25x -5 y = -75

-24 x = -60

X = -60 / -24

X= 2.5

Sustituyendo en cualquiera de las dos ecuaciones

X + 5y = 15

2.5 + 5y = 15

5y = 15 – 2.5

5y = 12.5

Y = 12.5/5

Y = 2.5

F= 10x + 30y

F = 10 (2.5) + 20 (2.5)

F = 25 + 50

F = 75, coste mínimo