Ejemplo de un Proyecto Final Teoría de Colas

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La disciplina de la cola, que representa el orden en el que se seleccionan los clientes de una cola, es un factor importante en el análisis de los modelos de colas. La disciplina más común es la de primero en llegar, primero en servirse (PLPS; también FCFS, del inglés first come, first served). Entre otras disciplinas están último en llegar, primero en servirse (ULPS; también LCFS de last come, first served), y de dar servicio en orden aleatorio (SEOA; tam- bién SIRO, de service in random order). También, los clientes se pueden seleccionar en la co (TAHA, 2004)la con base en cierto orden de prioridad. Por ejemplo, los trabajos urgentes en un taller se procesan antes que los trabajos normales.

La fuente donde se generan los clientes puede ser finita o infinita. Una fuente finita limita a los clientes que llegan al servicio (por ejemplo, las máquinas que piden el servicio de mantenimiento). También, una fuente infinita es abundante por siempre (por ejemplo, las llamadas que llegan a una central telefónica).

Las variaciones de los elementos de un caso de colas dan lugar a diversos modelos de colas (TAHA, 2004)

Terminología y Notación.

Como se ha comentado en el apartado anterior, la teoría de colas se aplica a muchos tipos de diferentes situaciones, sin embargo; el que más prevalece es el elemental: una sola línea de espera (que puede estar vacía en ciertos momentos) se forma frente a una instalación de servicio, dentro del cual se encuentran uno o más servidores. Cada cliente generado por una fuente de entrada recibe el servicio de uno de los servidores, quizás después de esperar cierto tiempo en la cola. En este modelo elemental se hace la suposición de todos los tiempos entre llegadas y todos los tiempos de servicio son independientes e igualmente distribuidos.

A pesar de todo, y debido principalmente a la gran variedad de problemas que se pueden encontrar, por convección, los modelos de colas se identifican con la siguiente notación

-----/-----/-----/-----/

[pic 3][pic 4][pic 5]

Distribución de tiempo de llegadas[pic 6]

Distribución de tiempo de servicio[pic 7]

Número de servidores[pic 8]

Tamaño de la polación[pic 9]

A menos que se establezca otra cosa, se utilizara la siguente terminología estándar:

Estado del Sistema = Número de clientes en el sistema

Longitud de la Cola = Numero de clientes que esperan servicio = Estado del sistema – Número de clientes a quienes se está sirviendo

N(t) = Número de clientes en el sistema de colas en el instante t

P n(t) = Probabilidad de quye exacatamente n clientes estén en el sistema en el instante t

s = Número de servidores (canales de servicio en paralelo)

λn = Tasa media de llegadas (núemro esperado de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes ciando hay n clientes en el sistema.

μn = Tasa media de servicio para todo el sistema (número esperado de clientes que completan su servicio por unidad de tiempo) cuando hay n clientes en el sistema.

Pn = Probabilidad de que exactamente n clientes se encuentren en el sistema.

L = Número esperado de clientes en el sistema.

Lq = Longitud esperada de la cola (excluye los clientes que estén en servicio)

W = Tiempo de espera en el sistema (incluido el tiempo de servicio), para cada cliente

Wq = Tiempo de espera en la cola (Se excluye el tiempo de servicio), para cada cliente.

(de La Fuente Garcia & Pino Diez, 2001)

Procesos de Poisson

Finalmente centraremos nuestra atención en los procesos de Poisson. Estos procesos son modelos para los sucesos que ocurren a tiempos aleatorios Tn. Por ejemplo, Tn puede sel el tiempo en el que ocurre el n-esimo incendio en una ciudad, o la dtección de la n-ésima partícula en un contador Geiger, o el n-ésimo coche que pasa por un control de carretera. Los procesos de Poisson proporcionan un modelo de probabilidad para el momeno en que dichos sucesos puedan ocurrir.

De una manera más formal sea a > 0 y R1, R2…variables aleatorias i.id, cada una de ellas con la distribución exponencial (a). Sea To = 0 para n ≥ 1

Tn = R1 + R2 + …..+ Rn

El valor de Tn corresponde, por tanto, al tiempo (aleatorio) del n_ésimo suceso. También definimos un conjunto de sucesos enumerables N, de la siguiente forma para t ≥ 0 establecemos:

Nt = max{n :Tn ≤ t}.

Es decir Nt cuenta el número de sucesos que han ocurrido en el tiempo t. En concreto, N0 = 0 y además Nt = 0 para todo t 1, es decir, antes de que ocurra el primee suceso.

Podemos considerar el conjunto de variables Nt, para t ≥ 0 como un proceso estocástico, indexado mediante el parámetro continuo de tiempo t ≥ 0.Por lo tanto, el proceso{Nt : t ≥ 0} es otro ejemplo, como el movimiento browniano, de un proceso estócastico contiuno en el tiempo. (J. EVANS & S. ROSENTHAL, 2005)

Justificación

En una parte del proceso productivo de los pastes en las pastería “Los Pastes de Ley”, se efectúa un estudio tiempo, para la realización del presupuesto de nominas, respecto a la capacidad de producción de pastes, la parte estudiar inicia una ves que las tortillas de masa están listas para comenzar la producción, 10 pastes prefabricados; es decir que la tortilla esta rellena de guisado, sellada y colocada en la charola (la capacidad de cada bandeja que ingresa al horno es de 10 pastes de 15 cm de diametro por charola, la capacidad del horno es de 8 charolas) cada charola lista para pasar al siguiente tiene una distribución exponencial media de 13.37 segundos por operario, es pasada al operario que se encargará del ciclo de acabado y pasar a hornear, teniendo una distribución exponencial con una media de 15.54 segundos por charola (cada 10 unidades).

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