FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLES E INTEGRACION DOBLE
Enviado por karlo • 10 de Diciembre de 2018 • 2.349 Palabras (10 Páginas) • 348 Visitas
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Si (t) = (x(t), y(t), z(t)) [pic 149]
Entonces ´(t) = (x´(t), y´(t), z´(t))[pic 150]
Ejemplo: (t) = (lnt, t, [pic 151][pic 152]
´(t) =(1/t, 1, 2t) Rpta[pic 153]
FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLES
E INTEGRACION DOBLE
DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES VECTORIALES
Los conceptos derivable y diferenciable coinciden en funciones vectoriales. Básicamente lo que hacemos aquí es derivar componente a componente.
Sea : una función vectorial, y sea un punto del interior del dominio de . Si = () se tiene que es derivable en si todas sus componentes son derivables y se da: [pic 154][pic 155][pic 156][pic 157][pic 158][pic 159][pic 160][pic 161]
= ([pic 162][pic 163]
Ejemplo 1: Si : R viene dada por (t) = (, resulta que es derivable y =() es derivable en cualquier punto t[pic 164][pic 165][pic 166][pic 167][pic 168][pic 169]
Ejemplo 2: Si : R viene dada por (t) = () resulta que es derivable y =() . Sin embargo no es derivable en t = 0.[pic 170][pic 171][pic 172][pic 173][pic 174][pic 175]
MATRIZ JACOBIANA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Dada una función vectorial : D ⟶, donde () son las funciones escalares componentes de y . Si ∃ ∇() ∀i=1,2,...,m. Definimos la matriz Jacobiana de f en el punto ∈ D, y la representamos por Jf(), mediante la matriz m×n donde cada fila es el vector gradiente de la correspondiente función componente, es decir:[pic 176][pic 177][pic 178][pic 179][pic 180][pic 181][pic 182][pic 183][pic 184][pic 185][pic 186]
[pic 187]
J = = [pic 188][pic 189][pic 190]
Ejemplo 1: Hallar el valor de la matriz Jacobiana en el punto (x, y, z) de la función: = (xy, x, ) [pic 191][pic 192][pic 193]
Solucion:
= (x, y, z) ; ; = [pic 194][pic 195][pic 196][pic 197][pic 198][pic 199]
J = J = [pic 200][pic 201][pic 202][pic 203]
Ejemplo 2: Ejemplo 1: Hallar el valor de la matriz Jacobiana en el punto (x, y, z) de la función: = (xy, x, ) en el punto (1, 1, 1) [pic 204][pic 205][pic 206]
Sol: J = [pic 207][pic 208]
Una vez obtenida la matriz Jacobiana se reemplazan las variables por los valores dados.
J = [pic 209][pic 210]
Ejemplo 3: Escriba la matriz Jacobiana de la función : tal que : [pic 211][pic 212]
(x, y) = ( en el punto (1,2). [pic 213][pic 214]
Sol: Obtemos la matriz Jacobiana y al final reemplazamos el punto
J = = [pic 215][pic 216][pic 217]
Ahora evaluamos en punto (1,2)
J = = [pic 218][pic 219][pic 220]
JACOBIANO DE [pic 221]
OBSERVACIÓN: Si m = n (esto es, si la matriz Jacobiana es cuadrada, a la determinante de esta matriz se llama JACOBIANO DE . El valor absoluto de este Jacobiano tiene una aplicación muy importante en las transformaciones (cambio de variable) que se hacen en las integrales dobles y triples por eso su estudio es importante para poder entender este tipo de transformaciones. [pic 222]
Ejemplo 1: Dada la función : D definido por[pic 223][pic 224][pic 225]
f(r, ) = (rcos, rsen) donde: [pic 226][pic 227][pic 228]
Hallar la matriz Jacobiana y halle el Jacobiano de . (Obtendremos el Jacobiano de las Coordenadas polares)[pic 229]
Solución:
1° Hallamos la matriz Jacobiana
= rcos y = rsen[pic 230][pic 231][pic 232][pic 233]
J(r, ) = = [pic 234][pic 235][pic 236][pic 237]
J(r, ) = MATRIZ JACOBIANA DE [pic 238][pic 239][pic 240][pic 241]
2° Calculo del Jacobiano
= = r) [pic 242][pic 243][pic 244]
= = r = r([pic 245][pic 246][pic 247][pic 248]
= r JACOBIANO DE LA FUNCION [pic 249][pic 250]
Nota: Si este determinante sale negativo se debe tomar el valor positivo del Jacobiano de acuerdo a la OBSERVACION.
Ejemplo 2: Escriba la matriz Jacobiana y halle su Jacobiano :
: / f(, , ) = ( (Obtendremos el Jacobiano de las coordenadas esféricas) [pic 251][pic 252][pic 253][pic 254][pic 255][pic 256]
Solución:
1° Hallamos la matriz Jacobiana
= ; = ; = [pic 257][pic 258][pic 259][pic 260][pic 261][pic 262]
J(, , ) = [pic 263][pic 264][pic 265][pic 266][pic 267]
J(, , ) =[pic 268][pic 269][pic 270][pic 271][pic 272]
MATRIZ JACOBIANA DE [pic 273]
2° Calculo del Jacobiano
= [pic 274][pic 275]
= sen][pic 276][pic 277][pic 278]
= sen[pic 279][pic 280]
= +] - sen+] [pic 281][pic 282][pic 283][pic 284][pic 285]
= sen[pic 286][pic 287]
= - sen[pic 288][pic 289][pic 290]
= [pic 291]
= [pic 292]
= [pic 293]
Se debe tomar el valor positive
Entonces: = [pic 294][pic
...