Demostración de las leyes de Kepler con funciones vectoriales.

...

[pic 30]

[pic 31]

Donde c=. Entonces:[pic 32]

[pic 33]

Donde e=. Pero:[pic 34]

[pic 35]

De modo que h=. De modo que:[pic 36]

[pic 37]

Si escribimos d=, obtenemos la ecuación:[pic 38]

[pic 39]

Es claro que esta ecuación es la ecuación polar de una sección cónica con el foco en el origen y excentricidad e. Sabemos que la órbita de un planeta es una curva cerrada, y entonces la cónica tiene que ser una elipse.

SEGUNDA LEY

Conocemos que [pic 40]

Además conocemos el vector unitario en dirección de la posición y con el definimos el nuevo vector con un ángulo de 90° :[pic 41][pic 42]

[pic 43]

Se deduce esta relación entre :[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

Sabemos que la velocidad [pic 47]

Usamos la regla de la cadena: [pic 48]

Por ello podemos decir que la velocidad es: [pic 49]

Al operar [pic 50]

[pic 51]

Sabemos que , entonces:[pic 52]

[pic 53]

El vector es constante, por ello su módulo también lo es. En coordenadas polares conocemos que el área de sectores es:[pic 54]

[pic 55]

TERCERA LEY

Sea el periodo de un planeta que gira alrededor del Sol, es decir, es el tiempo que requiere para dar una vuelta recorriendo su órbita elíptica. Suponemos que las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse son 2a y 2b.[pic 56][pic 57]

Todos conocemos que el área de una elipse es [pic 58]

Pero si deseamos conocer el área para cierto intervalo de tiempo, en este caso para el periodo , desarrollamos la siguiente integral:[pic 59]

[pic 60]

Esta expresión debe ser igual al área conocida

[pic 61]

[pic 62]

Conocemos por la primera ley que las orbitas serán elípticas, entonces para tenemos la siguiente posición:[pic 63]

[pic 64]

Entonces por la imagen podemos ver que [pic 65]

[pic 66]

De ello obtenemos: [pic 67]

Reemplazamos en la expresión con el periodo:

[pic 68]

[pic 69]

Bibliografía:

- James Stewart. (2012). Funciones Vectoriales. En Cálculo de varias variables trascendentes tempranas(868-872). Toronto: CENGAGE.

- Marisa Piraino – Dirce Braccialarghe . (2008). FUNCIONES VECTORIALES Y MOVIMIENTO EN EL ESPACIO . 05 de Octubre del 2016, de Universidad Nacional de Rosario (UNR) Sitio web: http://usuarios.fceia.unr.edu.ar/~dirce/Funciones%20vectoriales%20y%20movimiento%20en%20el%20espacio.pdf

- Gilbert Strang. (2000). Curvature and Normal Vector. 05 de Octubre