FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

...

[pic 43]

Integración de funciones vectoriales.

La función vectorial [pic 44] es una anti derivada de la función vectorial[pic 45], siempre y cuando

[pic 46]

INTEGRAL INDEFINIDA

Si [pic 47] es cualquier anti derivada de[pic 48], la integral indefinida de esta se define como

[pic 49]

Donde c es un vector constante arbitrario.

INTEGRAL DEFINIDA

Para la función vectorial[pic 50], se define la integral definida de la misma

[pic 51]

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL (Regla de Barrow) Supongamos que [pic 52] es una anti derivada de[pic 53], en el intervalo [a, b] diremos:

[pic 54]

Longitud de arco

Teorema. Si C es la gráfica de un función F en un intervalo [a, b] y si F’ es continua en dicho intervalo, entonces C tiene una longitud L y

[pic 55]

Ejemplo:

Encuentre la longitud de la parte de la parábola con ecuación [pic 56] que está en la parte superior del eje x.

Solución:

La curva que se desea determinar es la gráfica de

[pic 57]

Como[pic 58], vemos que F’ es continua en [-2,2]; por tanto se puede aplicar el teorema anterior y tenemos:

[pic 59]

Ocasionalmente se expresa la longitud de una curva C por la ecuación:

[pic 60]

La fórmula anterior sugiere que si la curva C tiene la representación paramétrica [pic 61]

[pic 62] : [pic 63]

La fórmula anterior se puede aplicar para cuando la ecuación de la curva está dada por una función vectorial, por lo que, la longitud de arco de curva entre dos puntos F(a) y F (b) viene dada por la fórmula:

[pic 64]

Vector tangente, normal y binormal

VECTOR TANGENTE

Como ya lo vimos anteriormente, al vector [pic 65] también se le llama vector tangente a la curva [pic 66] en t, y el vector

[pic 67]

[pic 68]

VECTOR NORMAL

[pic 69]

VECTOR BINORMAL

[pic 70]

Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos forman un sistema de referencia móvil conocido como Triedro de Frénet-Serret.

Curvatura

Dada una curva regular F (t) se puede reparametrizar, de manera que la longitud de la curva entre dos puntos a y b coincida con la longitud del intervalo con origen en a y extremo en b; en este caso se dice que la curva está parametrizada por la longitud de arco, que llamamos s. En este caso el vector tangente siempre es unitario. Se define la curvatura k como la variación del vector tangente respecto a la longitud de arco.

[pic 71]

La curvatura viene a medir como se “tuerce” la curva respecto de su longitud. Esta definición es bastante intuitiva, pero no es fácil de calcular. Para curvas, no necesariamente parametrizadas por el arco, se puede calcular como

[pic 72]

Si la curva está en el espacio, también se “retuerce” y para medir esto de define a la torsión T como

[pic 73]

Aplicaciones

EN ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

Para determinar completamente una función vectorial necesitamos calcular tanto su rotacional como su divergencia, además de las condiciones de contorno. Por ello las ecuaciones

Fundamentales del electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell) se expresan en términos de la divergencia y el rotacional de los campos eléctrico y magnético.

Empezaremos calculando la divergencia del campo magnético a través de la ley de Biot-Savart:

[pic 74]

El integrando de esta ecuación puede descomponerse según las reglas del cálculo vectorial en la forma:

[pic 75]

Donde los dos términos dan un resultado nulo. Por lo tanto se obtiene:

[pic 76]

Que constituye una de las leyes generales del Electromagnetismo que establece que el campo de inducción magnética es solenoidal, es decir tiene divergencia nula en todos los puntos.

Esto significa dicho campo no tiene ni fuentes ni sumideros y por tanto, como resaltaremos posteriormente, las líneas de fuerza del campo magnético siempre son cerradas. Los polos magnéticos, equivalentes en este caso a las cargas eléctricas, no existen independientemente; siempre que hay un polo Norte ha de aparecer un polo Sur.

Otra de las implicaciones del carácter solenoidal del campo de inducción es la de que existe una función vectorial de la que deriva:

[pic 77] Puesto que [pic 78]

Para cualquier vector A. Este vector así definido recibe el nombre de potencial vector, y su unidad en el S.I. es el Wb/m. Al igual de lo que ocurre en el caso del potencial electrostático V, el potencial vector no está unívocamente determinado puesto que si le añade cualquier magnitud vectorial de rotacional nulo se llega al mismo campo magnético B.

EN EL CÁLCULO DE MOVIMIENTO DE UNA PROYECTIL

Cuando