Funciones de varias variables.

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Teniendo en cuenta la matriz de lengua en que nos referimos a las matemáticas y el común idioma en que se reproducen los textos a los países de habla hispana.

[pic 8]

- MATEMATICAMENTE

Son funciones que tienen más de una variable dependiente de otra, sea el caso Cuando tenemos una función de dos variables se suele utilizar “Z” para representar los Valores de la función: z = f (x, y) . La variable z es la variable dependiente y “X” y “Y” las variables independientes.

Ingresando un paso hacia la comprensión del resultado de este tipo de función encontramos la necesidad de conocer los Dominio de función y Rango de función. Para este afán necesitamos graficar un eje de coordenadas y abscisas con solo nuestras dos varíales primarias “X” y “Y” ubicadas en los ejes “X” y “Y”, para así determinar un espacio selectivo donde podemos identificar primero el dominio, consecuentemente el rango de la función.

MARCO METODOLÓGICO

- Dominio y grafica de funciones:

En esta sección estudiaremos funciones reales de varias variables reales. Cantidades de la vida cotidiana o económica o ciertas cantidades físicas dependen de dos o más variables. El volumen de una caja, V, depende del largo, x, del ancho, y, y de z la altura de la caja. Los costos de una empresa que fabrica dos tipos de artículos dependen de q1 la cantidad de artículos de tipo I y q2 la cantidad de artículos de tipo II que produce. La temperatura que tiene un gas depende del volumen que ocupa y de su presión.

Veamos la definición formal de una función real de dos variables.[pic 9]

Observación: Cuando tenemos una función de dos variables se suele utilizar z para representar los valores de la función: z f (x, y) . La variable z es la variable dependiente y x y y las variables independientes.

Normalmente no se específica cual es el dominio de la función. Cuando éste es el caso tenemos que considerar el dominio implícito. El dominio implícito de una función de dos variables es el conjunto más amplio de (x, y) donde tiene sentido evaluar la fórmula, y el resultado es un número real. Muchas veces este dominio se representa gráficamente. En el caso de dos variables la representación es una región en el plano.

- EJEMPLO 1:

[pic 10]

a) Calcular el dominio de f.

b) Represéntelo gráficamente.

c) Calcule:[pic 11][pic 12]

Solución:

- La función está bien definida y es un número real cuando el radicando es mayor o igual a cero, esto es:

[pic 13]

Así que el dominio es el conjunto de todas las parejas (x, y) tales que [pic 14]

Más formalmente escribimos: [pic 15]

- Este conjunto se puede representar en el plano. Es una región del plano limitada por la curva y +4x2 – 4 = 0 Primero se traza la curva y + 4x2 – 4 = 0, Reescribiéndola como

- y = 4 – 4x2 la identificamos como una parábola abriendo hacia abajo y con vértice en (0,4). Para determinar la región completamente podemos proceder de dos maneras.

Primer procedimiento:

Es claro que nuestra región es el conjunto de puntos (x,y) que satisface la desigualdad y + 4x2 >= 4, Este conjunto lo podemos ver como la unión de todas las curvas y + 4x2 = d con d >= 4

Entre ellas están y + 4x2 = 4; y + 4x2 = 5; y + 4x2 = 6; y + 4x2 = 7

y todas las intermedias y que están por encima de éstas. Haciendo el gráfico de todas estas curvas podemos visualizar el dominio de la función, vea la figura a la derecha.

[pic 16]

Segundo procedimiento:

Una vez que hemos establecido que el dominio es una de las dos regiones del plano limitada por la curva y + 4x2 = 4, podemos tomar un punto de prueba en el plano que no esté en la curva.

Claramente (0,0) no está sobre la curva. Evaluamos la desigualdad y + 4x2 – 4 => 0 en este punto, si satisface la desigualdad entonces la región que contiene el punto de prueba es el conjunto solución, esto es, es el gráfico del dominio de la función, si no satisface la desigualdad entonces el conjunto solución a la desigualdad es la otra región.

Como 0 + 4 (0)2 – 4 => 0 no se satisface entonces el dominio es la región limitada por la curva

y + 4x2 = 4, que no contiene el (0,0), como efectivamente ya deducimos con el otro procedimiento, vea la figura como efectivamente está rayada la región que no contiene el punto (0,0).

c) La evaluación de funciones se hace de manera similar al caso de funciones de una sola variable. Por ejemplo para obtener el valor f (2,0) sustituimos el valor de x por 2 y el de y por 0 Así:

[pic 17]

[pic 18]

No es real.[pic 19]

Efectivamente la función no está definida en (1,- 1) . Vea el gráfico dado en b) y chequee que efectivamente este punto no está en el dominio.

Remarcamos que con el primer procedimiento demostramos que la solución de una desigualdad en dos variables tiene como representación gráfica a una de las dos regiones delimitadas por la curva dada por la igualdad. El segundo procedimiento es más expedito en determinarla.

En ocasiones nos referiremos al dominio de una función como su representación gráfica, recuerde que realmente el dominio es un conjunto de pares ordenados que pueden ser representados en el plano.

- EJEMPLO 2:

Determinar el dominio de las funciones de varias variables:

[pic 20]

Teoría → z = f(x,y)

z = [pic 21]

Existe Z si: [pic 22]

[pic 23]

Rpta: el dominio de [pic 24]