Guia de angulos.

...

Y cualquiera de estas notaciones se completa destacando a continuación si el ángulo es cóncavo, convexo o llano.

Para el ángulo de la (figura 10), tenemos en consecuencia, una cualquiera de estas tres notaciones:

(α) convexo; aôb convexo; ô convexo;

Para el ángulo de la (figura 11),

(β) cóncavo; aôb cóncavo; ô cóncavo;

Y para el ángulo de la (figura 12),

(λ) llano; aôb llano; ô llano.

Nota: cuando la semirrecta om, (figura 13), realiza en el plano un giro completo, barre todo el plano. Se expresa que el ángulo es de un giro. Luego:

¨Llámese ángulo de un giro al plano¨

- Postulado de las tres posibilidades

¨Dados dos ángulos cualesquiera, aôb y cêd, pueden presentarse una y solo una de las tres posibilidades siguientes: que aôb sea igual, o mayor o menor que el cêd¨.

Nota: Como en el caso de los segmentos, en lugar de hablar de ¨Igualdad de ángulos¨ se habla de ¨congruencia de ángulos¨. Y en lugar de decir ¨Los ángulos son iguales¨, se dice ¨los ángulos son congruentes¨.

Y si bien se escribe aôb = cêd, se lee ¨el aôb es congruente con el cêd¨.

Solo se dice que dos ángulos aob y poq son iguales (figura 14), cuando las notaciones aôb y pôq, designan al mismo ángulo.

[pic 14] - Ángulos consecutivos

Ahora observemos los ángulos aob y boc de la (figura 15), estos reciben el nombre de ángulos consecutivos. Tambien los ángulos mon; nop; poq; y qor, (figura 16) se dice, que son consecutivos.

[pic 15]

Para aclarar el alcance de estos nombres, vamos a ver a continuación, dos definiciones:

DEFINICION 1: ¨Dos ángulos de un mismo plano son consecutivos si y solo si tienen común únicamente un lado¨

En la (figura 15), aôb y bôc son consecutivos porque aôb ∩ bôc = ōb. También se expresa que el aôb es consecutivo de bôc.

DEFINICION 2: ¨Dados varios ángulos en un cierto orden, se dice que ellos son consecutivos si y solo si uno cualquiera de ellos –distinto del último- es consecutivo con el siguiente.

OPERACIONES CON ANGULOS

ADICION DE ANGULOS

- SUMA DE ANGULOS

En la (figura 17) hemos dibujado los ángulos aob y boc que son consecutivos.-

Y en la (figura 18), los ángulos pqr, rqs y sqt, que son, también, consecutivos.

[pic 16]

Para definir la suma de dos o más ángulos consecutivos, aclarando que en la (figura 17), las semirrectas oa y oc reciben el nombre de lados libres. Y que en la (figura 18), los lados libres son las semirrectas qp y qt.

Dicho esto, ya podemos entender la siguiente definición:

¨Dados dos o más angulos consecutivos, llamaremos suma de los mismos al ángulo que tiene por lados los lados libres de los ángulos dados y contiene a todos esos ángulos¨

En símbolos: aôb + bôc = aôc

Y en la (figura 18):

pq̂r + rq̂s + sq̂t = pq̂t

En el caso que tengamos que adicionar los ángulos mon, pqr, stu y vxy, (figura 18 bis), tendremos que tener presente esta otra definición:

¨Dados dos o más ángulos no consecutivos, en un cierto orden, llamaremos suma de los mismos al ángulo que es suma de otros tantos ángulos consecutivos, respectivamente, congruentes con los lados¨.

[pic 17]

- PROPIEDADES DE LA ADICION DE ÁNGULOS

La adición de ángulos goza de las mismas propiedades de los números naturales, si no se considera el ángulo nulo.

En caso de incluir a este último ángulo, las propiedades son las mismas que para la adición en N˳.

Ejemplo:

Para sumar los ángulos a︢ y b︢, cuyas medidas son: a︢= 34° 13´54´´ y b︢= 18° 40´27´´, se realizan los siguientes pasos:

- Se colocan las medidas de los ángulos una debajo de otra, de modo que coincidan en cada columna las unidades del mismo nombre.

- Se suma cada columna por separado.

- Como el número de segundos (81) es mayor que 60, se pasan 81´´ a minutos (81´´= 1´ 21´´ )

- Se suman los minutos (53´+ 1´= 54´)

- Como el numero de minutos (54) es menor que 60, la suma está terminada.

34º 13' 54"

+

18º 40' 27"

52º 53' 81"

↓

52° 53´81´´

↓[pic 18]

1´ 21´´

52° 54´21´´

RESTA DE ANGULOS

Definición:

¨Dados dos ángulos α y β, y siendo α ˃ β, se denomina diferencia entre α y β, a un tercer ángulo λ si y solo si α = β + λ¨

En símbolos (figura 19):

α ˃ β, α – β = λ α = β + λ

[pic 19]

En la (figura 20), se dibujaron los ángulos δ y ϵ, siendo δ > ϵ. Para determinar δ - ϵ, en la misma figura dibujamos δ´ y ϵ´ respectivamente congruentes con δ y ϵ.

Podemos