Integración numérica múltiple
Enviado por John0099 • 3 de Enero de 2019 • 1.028 Palabras (5 Páginas) • 345 Visitas
...
De tal modo de la integral definida:
[pic 13]
Representa el área de la región delimitada por la gráfica f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a, b] en n subintervalos, cada uno de ancho:
[pic 14]
Si a y b se designa como x0 y xn, respectivamente, la integral completa se representará como:
[pic 15]
Sustituyendo la regla del trapecio en cada integral se obtiene
[pic 16]
O, agrupando términos,
[pic 17] (1.2)
Representación gráfica de trapecio compuesto:
[pic 18]
- Ejercicio Resuelto
Planteamiento:
Use la regla del trapecio con dos segmentos para estimar la integral de
[pic 19]
Desde a=0 hasta b=0.8.Halle la estimación del error. Recuerde que el valor correcto para la integral es 1.640533
Solución:
n=2 h=0.4
[pic 20]
Sustituyendo en la ecuación (1.2)
[pic 21]
La cual representa el error es
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
Donde -60 es el promedio de la segunda derivada
- Ejercicio Propuesto
* Aproximar [pic 25] usando la regla compuesta del trapecio con n = 4.
- ERROR DE APROXIMACIÓN
ERROR DE TRUNCAMIENTO DE REGLA DEL TRAPECIO SIMPLE:
Se tiene un error con la regla del trapecio de aplicación múltiple al sumar los errores individuales de cada segmento, así
[pic 26] (2.1)
Donde
[pic 27]
Es la segunda derivada
[pic 28]
Localizado en el segmento i.Este resultado se simplifica al estimar la media o valor promedio de la segunda derivada en todo el intervalo como:
[pic 29] (2.2)
Por lo tanto
[pic 30]
Y la ecuación (2.1) se reescribe como:
[pic 31] (2.3)
Así, si se duplica el número de segmentos, el error de truncamiento se divide entre cuatro. Observe que la ecuación (2.3) es un error aproximado debido a la naturaleza de la ecuación (2.2)
ERROR DE APROXIMACION:
Error relativo absoluto = [pic 32]
- REGLA DE SIMPSON
Además de la regla del trapecio con una segmentación más fina, otra forma de obtener una estimación más exacta de una integral consiste en usar polinomios de grado superior para unir los puntos.
- REGLA DE SIMPSON 1/3
Si se desea obtener una mejor aproximación de la integral definida entre Xo y Xn de f(x) se considera el polinomio interpolante hasta las segundas diferencias, es decir:
[pic 33]
Al calcular la integral entre los tres primeros valores de la función, por los puntos de la tabla, para k = n = 2.
[pic 34]
, [pic 35][pic 36]
[pic 37]
- Regla del trapecio 1/3 simple
[pic 38][pic 39]
[pic 40]
[pic 41]
Del mismo modo puede integrarse entre y , es decir: [pic 42][pic 43]
[pic 44]
Y así sucesivamente sumando
[pic 45]
[pic 46][pic 47]
[pic 48]
Simplificando tenemos:
- Regla de Simpson 1/3 compuesta
[pic 49][pic 50]
[pic 51]
[pic 52]
La interpretación geométrica es
[pic 53]
Si hay otro punto a la mitad entre
f() y f(), los tres puntos se pueden[pic 54][pic 55]
unir con una parábola.
- EJERCICIO RESUELTO
- EJERCICIO PROPUESTO
- REGLA DE SIMPSON 3/8
REGLA DE SIMPSON 3/8 SIMPLE:
Un polinomio de Lagrange de tercer orden se puede ajustar a 4 puntos e integrarse:
[pic 56]
Para poder resolver con la regla de Simpson de 3/8 simple usamos la siguiente fórmula:
[pic 57]
Con : [pic 58]
- [pic 59]
-
Los valores de x se hallarán de la siguiente forma:
, , [pic 60][pic 61][pic 62]
Y los valores
...