JOHN NASH: UNA MENTE MARAVILLOSA

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Aunque von Neumann y Morgenstern desarrollaron una refinada teor´ıa que permite tratar los juegos de dos personas y de suma cero, en el sentido de que p1 + p2 = 0, su aplicaci´on al caso general resulta complicada y discutible.

La teor´ıa de Nash, sin embargo, es directa y elegante.

definicion.´ Una n-tupla de estrategias (s1,s2,... ,sn) constituye un punto de equilibrio para el juego si ning´un jugador puede incrementar su ganancia

pi(s1,s2,... ,sn)

cambiando s´olo si mientras los otros sj quedan fijos.

No se afirma que un punto de equilibrio deba ser un resultado deseable del juego, de hecho, en ocasiones, el punto de equilibrio puede suponer un verdadero desastre para todos y cada uno de los jugadores. (Es f´acil imaginar, por ejemplo, un juego de “guerra at´omica” con un ´unico punto de equilibrio en el que cada uno de los jugadores aniquila a todos los dem´as). Muy al contrario, debemos considerar un punto de equilibrio como la descripci´on de lo que probablemente ocurra en una situaci´on de total falta de cooperaci´on, en la que los jugadores persiguen sus objetivos individuales sin cooperar, bien porque no pueden comunicarse entre ellos, bien porque no hay mecanismos que les permitan cooperar o bien, sencillamente, porque no tienen inter´es alguno en cooperar. La teor´ıa de von Neumann-Morgenstern, por el contrario, s´olo considera juegos cooperativos.

Los dos ejemplos siguientes, que agradezco a Hector Sussmann, muestran cuan relevantes pueden llegar a ser en la vida diaria los puntos de equilibrio:

ejemplo 1. En una aburrida fiesta, todos los invitados quieren irse a casa temprano, pero nadie quiere marcharse antes de medianoche, salvo que alg´un otro invitado se vaya primero. S´olo hay un punto de equilibrio: todo el mundo se queda hasta medianoche. (Cons´ultese [Sch]).

ejemplo 2. Veinte personas van a cenar juntas una noche. Cada uno de ellos puede elegir entre dos men´us: uno de 10 d´olares, que no est´a mal, y otro excelente, de 20 d´olares. Si cada uno se pagara lo suyo, todos se inclinar´ıan por escoger el men´u m´as barato. Sin embargo, han decidido que van a dividir la cuenta en partes iguales. Como para cada uno de ellos, pasar del men´u barato al caro supone un coste marginal de tan s´olo 50 centavos, todos eligen el men´u caro.

Antes de enunciar el teorema fundamental de existencia de Nash, es preciso que introduzcamos probabilidades a trav´es de las estrategias mixtas de von Neumann-Morgenstern. Para ver por qu´e esto es necesario consideremos el

siguiente

ejemplo 3. Un sencillo candado tiene 1000 posibles combinaciones; el propietario del candado puede elegir cualquiera de ellas. Un ladr´on potencial tiene una sola oportunidad de adivinar la combinaci´on. Pod´ıamos tomar S1 y S2 como conjuntos finitos con 1000 elementos cada uno. Sin embargo, con este modelo matem´atico, no existir´ıa punto de equilibrio.

Para conseguir una teor´ıa razonable es necesario que permitamos la posibilidad de que los jugadores escojan de forma aleatoria entre las opciones de que disponen. Para ello tomamos S1 y S2 como s´ımplices de 999 dimensiones con 1000 v´ertices cada uno. Ahora hay un ´unico punto de equilibrio (s1,s2), donde cada si es la distribuci´on de probabilidad que asigna a cada posible elecci´on de combinaci´on, una probabilidad de 1/1000. El ladr´on tienen entonces una posibilidad entre 1000 de adivinar la combinaci´on correcta. (Este es´ un ejemplo de un juego de suma cero de dos personas, de manera que, en este caso, un punto de equilibrio de Nash es lo mismo que un par de estrategias ´optimas en el sentido de von Neumann-Morgenstern).

Siguiendo a von Neumann-Morgenstern, llamamos estrategia mixta a esta media ponderada de un n´umero finito de estrategias puras, donde los coeficientes de la ponderaci´on se interpretan como probabilidades. El conjunto de todas las estrategias mixtas de un jugador dado constituyen un s´ımplice de

dimensi´on finita.[pic 6]

Figura 1: Ejemplos de vectores apuntando hacia fuera en un punto de la frontera de un conjunto compacto convexo.

teorema de existencia. Si el espacio de estrategias Si de cada jugador es un s´ımplice de dimensi´on finita, y si cada funci´on de ganancia pi(s1,... ,sn) es una funci´on continua de sus n variables y es funci´on lineal de si cuando las dem´as variables se dejan fijas, entonces hay al menos un punto de equilibrio.

Para demostrar este enunciado se comienza por sumergir cada Si en un espacio eucl´ıdeo Rdi de su misma dimensi´on y consideramos el producto cartesiano

K = S1 × ··· × Sn ⊂ Rd1 × ··· × Rdn

para a continuaci´on construir un campo vectorial continuo

(s1,... ,sn) &−→ (v1,... ,vn) ∈ Rd1 × ... × Rdn (*)

como sigue: la componente vi en Rdi es el vector gradiente ∂pi/∂si de la funci´on pi cuando la consideramos como funci´on lineal de si, con los restantes sj fijos.

Necesitamos el siguiente

funci´lema.vectorialon continua, entonces existe al menos un puntoSivKse anula o apunta hacia fuera de⊂ Rd es un conjunto compacto convexo yK, en el sentido de que cadas!V∈ :KKdonde el campo−→ Rd es una punto de K pertenece al semiespacio

"s ∈ Rd : s · v (s!) ≤ s!· v (s!)# d

tracci´Esbozo de demostracion can´onica que lleva cada punto deon.´ (V´ease la figura 1.) SeaRd ρ : K −oximo de→ R la re-K. al punto m´as pr´

Entonces la composici´por el teorema del punto fijo de Brouwer, tiene un punto fijoon s &−→ ρ(s + v(s)) lleva K en s´ı mismo y, entonces,

s = ρ(s + v(s)).

Es f´acil comprobar que v(s), o se anula, o apunta hacia fuera de! ! ! K.

Si ahora aplicamos el lema al campo vectorial (! ∗), obtenemos una n-tupla ) que es el requerido punto de equilibrio.[pic 7]

!

comentario. Si una teor´ıa matem´atica se supone que aporta un modelo matem´atico con el que analizar un determinado problema de la vida real, debemos preguntarnos cu´an realista es ese modelo, si ayuda de verdad