LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

...

[pic 82]

Las funciones correspondientes y son, por supuesto, casos especiales de las funciones y respectivamente. Se verá que estas funciones juegan un papel muy importante en muchas aplicaciones del cálculo.[pic 83][pic 84][pic 85][pic 86]

Los logaritmos con base reciben el nombre de logaritmos naturales. Por motivos que se pondrán de manifiesto más adelante, serán los de uso casi exclusivo en esta obra. En este texto el símbolo “”, sin indicación de la base, significará siempre el logaritmo natural de . Algunos autores prefieren usar “” para este propósito.[pic 87][pic 88][pic 89][pic 90]

PROBLEMAS

- Demuestre lo siguiente:

- que si y son enteros positivos.[pic 91][pic 92][pic 93]

- que si y son enteros positivos.[pic 94][pic 95][pic 96]

- que si es entero positivo.[pic 97][pic 98]

- Simplifique la expresión .[pic 99]

- Demuestre lo siguiente:

- .[pic 100]

- [pic 101]

- .[pic 102]

- Demuestre la fórmula para el cambio de base, a saber:

[pic 103]

Use esta fórmula para calcular .[pic 104]

- Calcule primero indirectamente empleando la fórmula del problema 4, y obteniendo de la calculadora los logaritmos base 10 que hagan falta, y luego, directamente obteniendo con la calculadora el logaritmo base de 85. Compare los resultados[4].[pic 105][pic 106]

- Demuestre que .[pic 107]

- Haga algunos croquis para darse una idea del aspecto general de las curvas y si . ¿Cuál es la situación si ? ¿Qué ocurre si ?[5][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112]

- Trace en el mismo sistema de coordenadas las gráficas de , , y . Compare las gráficas y comente.[pic 113][pic 114][pic 115]

- Trace en el mismo sistema de coordenadas las gráficas de y . Compare las gráficas y comente.[pic 116][pic 117]

- Si se dibujara la gráfica de y después se duplicaran las ordenadas, ¿sería la gráfica resultante la correspondiente a ? Explique.[pic 118][pic 119]

- Calcule el valor de con una exactitud de 5 cifras decimales a partir de la serie.[pic 120]

- Escriba una definición para el logaritmo base de . ¿Resulta obvio a partir de la definición que ?[pic 121][pic 122][pic 123]

- Sin recurrir a su calculadora, evalúe la expresión . Vea el problema 12.[pic 124]

- Explique por qué . Vea el problema 12.[pic 125]

- Explique por qué . Vea el problema 12.[pic 126]

46.-La derivada del [pic 127]

Para encontrar la derivada de la función

[pic 128]

aplicamos el proceso fundamental de diferenciación. Comenzando en cualquier punto (Fig. 51) y haciendo que aumente en una pequeña cantidad , tenemos[pic 129][pic 130][pic 131]

[pic 132]

[pic 133]

No podemos ver con facilidad qué le ocurre al valor de esta fracción cuando . No obstante, al multiplicar el numerador y el denominador por , puede escribirse de la siguiente manera[pic 134][pic 135]

[pic 136]

[pic 137]

Fig. 51

Si ahora , el límite de la cantidad tiende a porque tiene la forma , siendo que se aproxima a cero. Entonces tenemos[pic 138][pic 139][pic 140][pic 141][pic 142]

[pic 143]

Finalmente, si consideramos la función , donde es una función diferenciable de , su derivada con respecto a es en virtud del resultado que acabamos de obtener. A fin de obtener su derivada con respecto a debemos multiplicar este resultado por , o sea:[pic 144][pic 145][pic 146][pic 147][pic 148][pic 149][pic 150]

(XIX) [pic 151]

Para el caso especial de los logaritmos naturales, la fórmula anterior se transforma en:

(XIXs) [pic 152]

Ejemplo 1

[pic 153]

[pic 154]

[pic 155]

Ejemplo 2

[pic 156]

[pic 157]

[pic 158]

47.-La derivada de [pic 159]

La derivada de esta función se obtiene fácilmente de la de como sigue: Si[pic 160]

[pic 161]

entonces

[pic 162]

y

[pic 163]

Y ahora usando la fórmula VIII, y por el problema 6 de la sección anterior,

[pic 164]

[pic 165]

[pic 166]

Finalmente, si es una función diferenciable de , tenemos la fórmula:[pic 167][pic 168]

(XX) .[pic 169]

Si en particular, la constante es igual a , la fórmula se modifica como sigue:[pic 170]

(XXs) [pic 171]

Ejemplo 1

[pic 172]

[pic 173]

[pic 174]

Ejemplo 2

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[pic 176]

[pic 177]