LONGITUD DE ARCO ¿Qué se entiende por longitud de una curva?
Enviado por Helena • 26 de Julio de 2018 • 1.037 Palabras (5 Páginas) • 232 Visitas
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[pic 18]
Observe que el procedimiento para definir la longitud de arco es muy similar al procedimiento empleado para definir área y volumen: se divide la curva en un gran número de partes pequeñas. Luego, se determinan las longitudes aproximadas de las partes pequeñas y se suman. Por último, se toma el límite cuando n→∞.
La definición de la longitud de arco expresada en la ecuación 1 no es muy conveniente para propósitos de cálculo, pero se puede deducir una fórmula integral para L en el caso donde tiene una derivada continua. [Tal función se denomina uniforme porque un cambio pequeño en x produce un cambio pequeño en .][pic 19][pic 20][pic 21]
Si ∆y y ─y, entonces[pic 22][pic 23][pic 24]
∣P P∣= =[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]
MÁS APLICACIONESDE INTEGRACION
Al aplicar el teorema del valor medio a en el intervalo [Xi-1, Xi], se encuentra que hay un número entre xi y tal que [pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]
∣P P∣= =[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]
=[pic 37][pic 38][pic 39]
(Puesto que )[pic 40]
Por lo tanto, por la definicion1 [pic 41]
Se reconoce que esta expresión es igual a
[pic 42]
Por la definición de una integral definida. Esta integral existe porque la función = es continua. Así, se ha demostrado el siguiente teorema:[pic 43][pic 44]
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Formula de la longitud de arco si es continua sobre [a, b], entonces la longitud de la curva y = [pic 45][pic 46]
[pic 47]
Si usamos la notación de Leibniz para derivadas, se puede escribir la fórmula de la longitud de arco como sigue:
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[pic 48]
Ejemplo 1. Halle la longitud de arco de la parábola semicúbica entre los puntos (1, 1) y (4, 8). (Observar figura 5). [pic 49]
SOLUCIÓN Para la mitad superior de la curva se tiene
= [pic 50][pic 51][pic 52]
Y, por lo tanto, la fórmula de longitud de arco produce
[pic 53][pic 54]
Si se sustituye Si se sustituye , entonces . Cuando . [pic 55][pic 56][pic 57]
Por lo tanto,
[pic 58]
= [- = [pic 59][pic 60][pic 61][pic 62]
Si una curva tiene la ecuación es continua, entonces al intercambiar los papeles de y en la fórmula 2 o la ecuación 3, se obtiene la fórmula siguiente para su longitud:[pic 63][pic 64][pic 65]
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= [pic 66][pic 67]
Pero en el caso que una curva presente dos funciones, para ello a la formula general se tendrá que acompañar por la otra función, de esta manera se hará posible encontrar la aproximación de la curva en cada una de los puntos, tal como se muestra a continuación
[pic 68]
CAPITULO II
CONCLUSION
REFERENCIOAS
ANEXOS
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