Limites de funciones analisis matemático 1

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Muchas veces le interesará la tendencia de la función cuando x se aleja a [pic 4]. Analice entonces [pic 5]y [pic 6]

Complete los valores de las Tendencia de la función f(x) hacia - infinito y hacia + infinito.

x

y

x

y

Luego bosqueje la gráfica de la función dada y decida cuál es el límite en cada caso (Ejemplo Nº 2).

[pic 7]y [pic 8]

Observaciones sobre la noción de límite:

i.- El límite de una función cuando la variable independiente x tiende a un punto “es un ...........”que representa hacia donde se acerca la función.

ii.- Los límites son tendencias hacia un punto, tanto por el lado izquierdo, como por el derecho. En tal caso se llaman Límites Laterales. (ver ejemplo Nº 1).

iii.- En los límites se puede ver que mientras la variable independiente x se acerca más hacia un valor, tanto como se pueda; la función se acerca más al límite L de la función en ese punto.

iv.- Existen límites de funciones en valores de x que son finitos (puntos) y existen límites de funciones en el “Infinito”.

v.- Si analiza en el ejemplo nº1, cuál es el valor del límite de la función en el punto x=1, este coincidirá con el valor de la función en ese punto. Compruebe.

vi.- El punto anterior nos conduce a que “el método más general para calcular el límite de una función en un punto es evaluando la función en ese punto”, excepto cuando hay discontinuidad de f(x)en ese punto.

- Definición de Límite de una función.

Luego de la introducción intuitiva del concepto de límite, es posible avanzar a una definición cada vez más rigurosa de límite de una función:

Def. 1. - consideremos una función y = f(x) y un punto x =a del dominio de ella. Decimos que la función f(x) [pic 9]L cuando x [pic 10]a, y se escribe [pic 11], si al dar a x valores cada vez más próximos a a, los valores de f(x) se acercan a L”tanto como queramos”.

Una definición más utilizada en el lenguaje matemático hace referencia al concepto de entorno y de intervalo:

Segmento. Def.- Se denomina segmento al conjunto de los números reales x que satisfacen la condición [pic 12], donde a y se denota por [pic 13]

Intervalo. Def.- Se denomina Intervalo al conjunto de los números reales x que satisfacen la condición [pic 14], donde a y se denota por [pic 15].

Entorno, Vecindad o proximidad de x0 Def. – Se denomina entorno o vecindad de un punto del eje numérico a cualquier intervalo que contenga a dicho punto.

Una definición más precisa. Un entorno se denota por E(x0, [pic 16]) si su centro es x0 y su radio es [pic 17]; es decir que: E(x0, [pic 18]) =[pic 19] y se llama Entorno Reducido E*(x0, [pic 20]) =[pic 21]- X0; es decir si, se excluye el punto X0.

Esta definición de Entorno Reducido equivale a [pic 22]

Ejemplos de Vecindades:

- E(2, 4) =[pic 23][pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

- E (0, 3) = [pic 27]

- En general, [pic 28][pic 29]

Tarea Nº 1

- Realice las tablas de variaciones de la tendencia de [pic 30]por la izquierda y la derecha. y la de[pic 31]

- Exprese simbólicamente las siguientes vecindades:

- Un entorno del punto 5 y de radio 0,5

- Un entorno reducido del punto 2 y de semiamplitud 1,5

- Un entorno de radio 3 y de semiamplitud 3

- Un entorno del punto –1 y radio 0,8

.

Entornos de una función

Problema. Sea f una función real cualesquiera y x0 [pic 32]Dom(f). Definamos un entorno de f(x0) de radio [pic 33], (E(f(x0), [pic 34]). Se trata de encontrar un entorno de centro x0 y radio [pic 35], (E(x0, [pic 36])), tal que la imagen de este último esté incluida en el entorno de f(x0).

Gráfica de la relación entre entornos de f(x0) y de x0

[pic 37]

En gráficas como de la función del presente ejemplo se constata intuitivamente que es posible lograr la tarea planteada; es decir, que tomando cualquier entorno alrededor de f(x0) , (E(f(x0), [pic 38]) de radio [pic 39], siempre será posible encontrar un entorno de centro en x0, (E(x0, [pic 40])), tal que: “la imagen del entorno de x0 esté contenida en el entorno de f(x0)”

[pic 41]

Recordemos la definición 1 de límite:

Definición primaria.- Sea la función y = f(x) y sea x = a, un punto en la recta numérica real. Decimos que la función f(x)[pic 42]cuando x[pic 43], y se escribe [pic 44], si al dar a x valores cada vez más próximos a a , los valores de f(x)[pic 45]se acercan a L. “tanto como queramos”.

En lenguaje formal de la matemática equivale a lo siguiente:

Def. 2 [pic 46] si, fijado un entorno de L, [pic 47], tan pequeño como se quiera, podemos encontrar un entorno de a, [pic 48]; de modo que si [pic 49], entonces [pic 50].

Definición 3.- Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es L si para todo entorno, E(L,[pic 51]), existe un entorno reducido de [pic 52]([pic 53]), tal que: si [pic 54]([pic 55]) entonces f(x)[pic 56]E(L,[pic 57]).

Si recuerda el concepto de Entorno Reducido E* ([pic 58]), en términos de la desigualdad [pic 59], de la definición anterior se podrá pasar a la siguiente:

Def. 4. Definición de límite, según Cauchy:

[pic 60]

*Esta es la definición de límite que en adelante