Matematica Inecuaciones con Valor Absoluto

...

(−∞, 1)

−x + 1 + 4 − 2x = 4

−3x = −1

1

x =

3

(1, 2)

x − 1 + 4 − 2x = 4

−x = 1

x = −1

Esta solucio´n no pertenece al intervalo, por lo cual se descarta

(2, ∞)

Luego las soluciones son x = 3, x = 1

3

---------------------------------------------------------------

x − 1 − 4 + 2x = 4

3x = 9

x = 3

6. Resuelva la siguiente inecuacio´n:

Solucio´n

---------------------------------------------------------------

|x − 1| |x − 3|

Primero que todo elevamos al cuadrado para eliminar el Valor Absoluto, desarrollamos algebraicamente de tal modo que al lado derecho de nuestra inecuacio´n nos resulte 0, tal y como se aprecia a continuacio´n:

Puntos Cr´ıticos:

---------------------------------------------------------------

|x − 1| |x − 3|/()2 ⇒ (x − 1)2 − 3)2

⇒ x2 − 2x + 1 2 − 6x + 9)

⇒ x2 − 2x + 1 2 − 24x + 36

⇒ 3x2 − 22x + 35 > 0

⇒ (3x − 7)(x − 5) > 0

---------------------------------------------------------------

3x − 7 = 0 ⇒ x = 3 x − 5 = 0 ⇒ x = 5

7

Como nuestro ejercicio es mayor a cero, las soluciones a encontrar son todas aquellas positivas, para ello realizamos el siguiente cuadro:

Intervalos −∞, −4 −4, 3

2

2

---------------------------------------------------------------

3 , ∞

3x − 7 − + +

x − 5 − − +

Resultado + − +

Luego el conjunto solucio´n est´a dado por:

∴ Sol:

---------------------------------------------------------------

7

−∞, 3

---------------------------------------------------------------

∪]5, ∞[

7. Encuentre el conjunto solucio´n:

---------------------------------------------------------------

x + 2

---------------------------------------------------------------

x − 1

x − 6 − x − 3

Solucio´n

x + 2

---------------------------------------------------------------

x − 1

---------------------------------------------------------------

|x + 2|

---------------------------------------------------------------

|x − 1|

⇒

---------------------------------------------------------------

Por propiedad (2)

x − 6 − x − 3

---------------------------------------------------------------

|x − 6|

---------------------------------------------------------------

|x − 3|

⇒ |x + 2||x − 3| |x − 1||x − 6|/()2 elvamos al cuadrado

⇒ (x + 2)2 (x − 3)2 − 1)2 (x − 6)2

⇒ (x2 + 4x + 4)(x2 − 6x + 9) 2 − 2x + 1)(x2 − 12x + 36)

⇒ x4 − 2x3 − 11x2 + 12x + 36 4 − 14x3 + 61x2 − 84x + 36

⇒ 12x3 − 72x2 + 96x · 1

12

⇒ x3 − 6x2 + 8x

⇒ x(x2 − 6x + 8)

⇒ x(x − 2)(x − 4)

Puntos Cr´ıticos:

x = 0 x = 2 x = 4

Se aprecia que nuestro ejercicio es menor que 0, por lo tanto las soluciones que buscamos son aquellas negativas, como se aprecia en la tabla:

Intervalos −∞, 0 0, 2 2, 4 4, ∞

x − + + +

x − 2 − − + +

x − 4 − − − +

Resultado − + − +

Luego el conjunto solucio´n es:

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∴ Sol:(] − ∞, 0[∪]2, 4[) − {3}