Matemática Análisis logístico de una epidemia vira

...

[pic 9]

Si decimos que esta velocidad de cambio de la población es proporcional a la población en ese instante:

[pic 10]

[pic 11]

- FUNCIÓN EXPONENCIAL

Se define como:

[pic 12]

Donde:

f: tamaño de la población

t: tiempo

k: tasa de crecimiento, si es positivo o tasa de decrecimiento, si es negativo.

Función exponencial creciente

Función exponencial decreciente

[pic 13]

[pic 14]

Primera derivada

[pic 15]

[pic 16]

Derivada positiva,

la función es creciente

Derivada negativa,

la función es decreciente

Segunda derivada

[pic 17]

[pic 18]

Derivada positiva,

cóncava hacia arriba

Derivada positiva,

cóncava hacia arriba

Grafica

[pic 19]

[pic 20]

- MODELO LOGÍSTICO

Se define como:[pic 21]

[pic 22]

Donde:

P: Tamaño de la población

t: Tiempo

r: tasa de crecimiento

K: capacidad de carga

- Se define como capacidad de carga a la población maximo que pueda tolerar el ambiente, al sobrepasar esta capacidad se puede producir el declive y en el peor de los casos la extinción de toda esa población. Es por ello que este modelo matemático es muy usado sobre todo el la rama de la biologia al analizar poblaciones reales. Esto se debe a que en una población el crecimiento poblacional no es infinito, es finito, por lo que está limitada por la capacidad de carga, ya antes mencionada.

- Para calcular la capacidad de carga se le aplica el límite cuando tiende al infinito, de tal manera que encontraremos una asíntota horizontal en un punto, lo que será nuestra capacidad de carga.

- Otro dato importante sobre este modelo logístico es que al iniciar su gráfica tiene la apariencia de crecer exponencialmente, pero se ve impedido por la capacidad de carga, por lo que se dice que este modelo es una variante de la función de crecimiento exponencial.

- INTEGRACIÓN, MÉTODO DE FRACCIONES PARCIALES

Para integrar:

[pic 23]

Utilizaremos el método de fracciones parciales:

[pic 24]

Luego:

[pic 25]

Para determinar los coeficientes:

Con y = 0

[pic 26]

Con y = N

[pic 27]

En la integral:

[pic 28]

Entonces:

[pic 29]

- ECUACIÓN DIFERENCIAL

Por el método de separación de variable:

[pic 30]

Separación de variable:

[pic 31]

[pic 32]

Integrando:

[pic 33]

Luego de multiplicar por N, aplicamos antilogaritmos

[pic 34]

Despejando “y”

[pic 35]

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Supongamos que tenemos un grupo homogéneo de N individuos, que al tiempo t (medido en días) se compone de x individuos susceptibles a la infección (digamos por parte de algún virus) y de y individuos infectados. También supongamos que no se remueve el virus de la circulación por recuperación, aislamiento o muerte. (Ésta sería la situación correspondiente a las primeras etapas de una infección respiratoria de las vías superiores). Esto quiere decir que tenemos x + y = N. Si suponemos que la razón de cambio de los individuos infectados es proporcional tanto al número de individuos infectados como al número de individuos susceptibles de la infección, tenemos la ecuación diferencial =kxy=k(N-y)y. Si suponemos que al tiempo t = 0, una persona comienza a enfermar mientras que el resto no está infectado, nuestra condición inicial es y(0) = 1. [pic 36]

RESOLUCIÓN DE LAS PREGUNTAS

- Dar un título adecuado al proyecto: Análisis logístico de una epidemia viral.

- Mediante el análisis directo de la ecuación diferencial, determine el número de personas infectadas en el momento en que la infección tiene la razón de cambio más rápida.

La ecuación diferencial:

[pic 37]

Sea f(t) la razón de cambio:

[pic 38]

Para hallar cuando f(t) será máxima,