Matriz de Leontieff

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Marquez Gonzalez nos da la notación necesaria para simbolizar las relaciones entre producción, demanda final y demanda intermedia.

Definiendo con Xi la producción bruta del sector i, siendo en el ejemplo:

=[pic 1][pic 2]

Con Yi la demanda final al sector i:

=[pic 3][pic 4]

Finalmente con Xij se muestran las ventas que el sector i efectuó al sector j

[pic 5]

Como se ha dicho antes la producción bruta es igual a la suma de demanda intermedia y demanda final, entonces:

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

Posteriormente se elaborará la matriz de los coeficientes técnicos. Citando a Waldo Marquez Gonzalez, en su trabajo La Matriz de Leontief El problema Económico de las Relaciones Interindustriales: “Cada coeficiente aij representa los requerimientos de insumos del sector i necesarios para producir una unidad del producto j. Sabemos que existe proporcionalidad directa entre la producción bruta del sector j y el volumen total de los insumos que este sector adquiere de los demás sectores proveedores. Es decir, los insumos que venden los sectores proveedores varían en la misma proporción en que se modifica la producción bruta del sector que los adquiere. Entonces, bajo este supuesto, se admite que los coeficientes técnicos aij son constantes, y por lo tanto se tiene la ecuación lineal xij = aij · Xj, que indica que las compras que un sector j efectúa a otro sector cualquiera i, se calculan multiplicando la producción bruta de ese sector Xj, por un coeficiente constante aij.” (pg 6).

Para hallar un coeficiente aij, se efectuará la división de Xij entre Xj, por ejemplo:

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

Dicha operación se realizara para todas las cifras de la tabla resultando la siguiente matriz:

[pic 12]

Ahora supongamos que se trata de satisfacer un aumento en la demanda final para el próximo año de actividad de 100 unidades en el sector agricultura, 200 unidades en el sector industrial y 100 unidades en el sector servicios. Se necesita saber la variación en la producción bruta

Marquez Gonzales nos dice: “Este problema se resuelve expresando dicho sistema de ecuaciones como una relación funcional entre producción bruta y demanda final, el vector X es la variable dependiente y el vector y es la variable independiente. Despejando el vector X de la ecuación anterior se obtiene, La matriz (I−A) se denomina matriz de Leontief y la matriz (I−A) −1 se llama matriz inversa de Leontief, o matriz de coeficientes de requerimientos directos e indirectos por unidad de demanda final” (pg 8).[pic 13]

Ahora reemplazando en por el ejemplo propuesto:[pic 14]

=, después[pic 15][pic 16]

=, teniendo en cuenta los incrementos:[pic 17][pic 18]

, esto quedaría:[pic 19]

,[pic 20]

Finalmente para hallar la variación, se resta la producción bruta final con la inicial:

=[pic 21][pic 22]