Mecanica. EJERCICIOS RESUELTOS

...

[pic 28] De la simetría de la figura y,

[pic 29]

Podemos hallar [pic 30][pic 31]integrando sobre la superficie, entre los límites, esto es ,[pic 32][pic 33]

Haciendo

[pic 34]

Resulta,[pic 35]

El resultado anterior es válido para todos los valores de z, a medida que el radio R crece sin límite es decir, R>>Z, el segundo término dentro del paréntesis de la ecuación tiende a cero, y queda

[pic 36]

Se puede observar que se obtiene el mismo resultado si hacemos [pic 37][pic 38] . Es decir que para puntos cercanos el disco se comporta como si fuera de extensión infinita.

- Dos cargas puntuales -2Q y Q se hallan sobre el eje x.

a) Calcule el campo eléctrico en el punto P.

b) Encuentre la distancia de separación entre las cargas para la cual la componente Y del campo vale cero.

Respuesta[pic 39]

El campo total en el punto P es:

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

Donde hemos escrito el campo[pic 43][pic 44] , en términos sus componentes rectangulares

Reescribiendo:

[pic 45]

Ahora si existe algún r, para el cual la componente[pic 46][pic 47] del campo se anula:

[pic 48]

Por lo tanto [pic 49] pero [pic 50]

[pic 51]

O sea: [pic 52] y entonces [pic 53]

[pic 54]

- Calcule el potencial eléctrico debido a la distribución de cargas mostrada en la figura. Evalúe el potencial en el punto (0, 2a).[pic 55]

Respuesta

[pic 56]

Con:

[pic 57]

Hemos tomado en cuenta que el potencial eléctrico es aditivo.

En particular en el punto (0, 2a): [pic 58]

[pic 59]

- Una varilla de longitud L tiene una carga positiva por unidad de longitud y una carga total Q. determine el campo eléctrico y el potencial en el punto P a lo largo del eje de la varilla, a una distancia b de un extremo.

[pic 60]

Respuesta

El cálculo del campo se obtiene de:

Tenemos que, [pic 61]

[pic 62]

- Alambre infinito .En la figura se muestra una sección de un alambre de carga infinita. Deseamos hallar el campo eléctrico a una distancia R del alambre.

Respuesta

Como se trata de una distribución lineal de carga utilizaremos la expresión

[pic 63], con[pic 64]

[pic 65]

De acuerdo con la figura, la Magnitud del campo eléctrico está dada por

[pic 66]

Con componentes:

[pic 67]y,

[pic 68]

Pero por simetría, para un elemento de carga como el indicado, existe un elemento opuesto de modo que las componentes del campo e n la dirección x se cancelan.

Hagamos ahora el cálculo de [pic 69][pic 70]:

[pic 71]

Debido a que las contribuciones al campo debido a cada mitad de la barra son iguales. pero ,

[pic 72]

[pic 73], que al sustituir nos queda [pic 74]

- Determinar el campo eléctrico generado por un dipolo, en un punto lo suficientemente alejado del mismo.

Respuesta

Un dipolo eléctrico está constituido por dos cargas eléctricas de igual magnitud y signo contrario, situadas a pequeña distancia.

Sabiendo que en cualquier punto del campo, la componente del campo en cierta dirección es igual al gradiente, cambiado de signo, del potencial en dicho punto, vamos a calcular primero el potencial en un punto P, para determinar después el campo.

Sea r la distancia del punto P al centro del eje del dipolo y [pic 75]el ángulo que forma r con dicho eje.

Si el punto P está lo suficientemente alejado, podemos considerar que r es paralelo a r1 y r2 y, por lo tanto, dichas distancias de P a cada una de las cargas valen:

[pic 76]

Sabiendo que el potencial, como función de una distribución de cargas puntuales, viene dado por la expresión :

[pic 77]

[pic 78]

[pic 79]

Si r es muy grande frente a la separación de las cargas, puede despreciarse el sustraendo del denominador. Por otro lado, el producto q.l se denomina momento dipolar y se representa por p. Según eso, podemos poner :[pic 80]

Vemos entonces que el potencial del punto P depende de las coordenadas polares r y [pic 81].

Vamos a calcular ahora las componentes de E en las direcciones de los vectores unitarios intrínsecos asociados a r y [pic 82]respectivamente.

Derivando respecto a cada una de las variables, tenemos :

[pic 83]

La longitud de los elementos diferenciales en la dirección en que r y [pic 84]crecen