Medición aproximada de figuras amorfas

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Otra operación interesante que se puede realizar utilizando el símbolo sumatorio es la sumatoria de productos vectoriales. Tal operación se puede denotar como,

[pic 7]

SUMA DE RIEMANN

Las sumas de Riemann son un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Llevadas al límite se obtiene la integral de Riemann.

Sea f(x) una función continua en [a, b]. Sea un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2,...xn} tales que a= x0consideramos la partición de este intervalo P= {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}.

Entonces la suma de Riemann de f(x) es:

[pic 8]

Donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo suele ser arbitraria.

- Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.

- Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

Ejemplo.

Hallar el área de la región bordeada por la gráfica de f(x)=(x-1)^2+2, en el intervalo x=-1 y X=2 mediante la búsqueda del límite de la suma de Riemann.

Se divide [-1, 2]:

[pic 9]

La enésima suma de Riemann es:

[pic 10]

El área de la suma de Riemann:

[pic 11]

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b.

[pic 12]

Se representa por[pic 13].

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de las integrales definidas

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

[pic 14]

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

[pic 15]

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

[pic 16]

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

[pic 17]

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

[pic 18]

Teorema de existencia

Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a, b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica:

El valor f © se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a,b].

Quizá sea interesante hacer varias observaciones:

1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad.

2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.

3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse por la Regla de Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando métodos numéricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones de integración sencilla.

2. EL TEOREMA APLICADO A UNA FUNCIÓN DETERMINADA Vamos a estudiar la aplicación del teorema a una función concreta. Para una primera aproximación vamos a escoger una función que sea continua en cualquier intervalo de la recta real, para que tengamos la seguridad de que se cumple la hipótesis de nuestro teorema.

La función objeto de nuestro estudio va a ser la siguiente:

Los controles a y b son los extremos del intervalo. Al cambiar sus valores se puede observar como varía el valor medio de la función y el punto, o puntos, en que se alcanza dicho valor. La función con la que estamos trabajando es simétrica y eso provoca que en algunos intervalos el punto c no sea único.

El trazo azul indica el conjunto de valores que toma la función en el intervalo [a,b], cuyo valor medio queremos calcular. Ten en cuenta que el extremo del intervalo a debe ser más pequeño que el extremo b. En cualquier caso, si te equivocases, aparecería un mensaje de error.

3. EL TEOREMA APLICADO A UN TIPO DIFERENTE DE FUNCIONES

Vamos a considerar ahora la aplicación del teorema a un tipo diferente de funciones. Aquí el punto en el que se alcanza el valor medio es único ya que la familia de funciones exponenciales que estudiamos, también con dominio en todos los números reales y fácilmente integrables, se caracteriza por su monotonía. El conjunto de funciones que representamos responde a la ecuación general en la que k puede tomar diversos valores reales en el intervalo [−0.5, 0.5], lo que hace que la función pueda ser una exponencial creciente o decreciente. En el caso K = 0, al tratarse de una función constante el teorema carece de interés.

En la escena anterior la función era definida positiva y por tanto también lo era su valor medio. Ahora las funciones pueden tomar valores positivos y negativos según los intervalos, lo que afecta al valor medio obtenido.

El