Metodos graficos

...

[pic 4],

por lo tanto la ecuación que nos representa la recta trazada en la figura 2 es:

[pic 5], (x en cms. y t en seg.).

Hemos subrayado algunas palabras en la última frase. ¿Por qué? Debido a la dispersión de los puntos experimentales otra persona podría haber trazado una recta un poco diferente a la trazado en la figura 2 (urgimos al lector a hacerlo) que también representa bien los puntos experimentales. Al trazar una recta un poco diferente los valores de la pendiente y el intercepto no serán los mismos que se obtuvieron arriba.

Esto no debe ser sorprendente después de nuestra discusión sobre las cifras significativas en una medición, debemos siempre preguntarnos cuantas cifras significativas tiene cada uno de los valores o parámetros que medidos. Por ejemplo en el intercepto no usamos decimales, sino que aproximamos al número entero de centímetros más cercano, puesto que las mediciones que se hicieron tenían una misma precisión. Además la escala escogida para el grafico hace difícil estimar las fracciones de centímetro puesto que cada división corresponde a 10 centímetros.

Pero y ¿qué decir de la pendiente?. La hemos calculado con tres cifras, pero debemos preguntarnos si todas son o no significativas. Podemos dar una respuesta a esta pregunta si examinamos con cuidado el procedimiento que hemos seguido para determinar la pendiente. Hemos determinado un intervalo [pic 6] en el eje vertical y otro intervalo [pic 7] en el eje horizontal. Para hacer las cosas más simples supongamos que las mediciones de tiempo fueron muy precisas, o sea que la persona determinó la posición exactamente en los instantes indicados en la tabla 1, pero que solo pudo determinar la posición en forma aproximada. Así el intervalo de tiempo podemos considerarlo como preciso b = 10 seg. Pero “a” tiene una incertidumbre o error experimental que es, por lo menos, del orden de la dispersión de los puntos con respecto a la recta. Podemos ahora usar la ecuación ( ) para calcular el error, con lo cual:

m=a/b, entonces [pic 8]m/m = [pic 9]a/a + [pic 10]b/b,

por tanto

[pic 11]

[pic 12]m = 0.038 x 7.90 = 0.30 cm/seg.

La incertidumbre en el intercepto también será del orden de la dispersión de los puntos o sea de 2 o 3 cms., por lo tanto la ecuación que representa el movimiento debería escribirse:

x = (7.9 ± 0.3)t + (23 ± 3), (x en cm. y t en seg.),

indicando asi que el experimento no ha sido preciso.

Supongamos que el experimentador decide mejorar sus mediciones usando un método experimental que le permite mejor precisión en la toma de sus datos. Podría usar una luz estroboscópica que destella a intervalos de tiempo regulares y una cámara que fotografía el cuerpo en movimiento. Para nuestros fines poco importa cuál sea el método que use, lo importante es que ahora obtiene los datos contenidos en la tabla 2 y que se han graficado en la figura 3.

Tabla 2

x (cm)

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

11.0

12.0

t (seg.)

29.0

36.5

44.5

52.5

60.5

68.0

76.0

84.0

92.0

99.5

107.5

115.5

El experimentador procede en la misma forma que antes, seleccionando los puntos A(1.5, 33.0) y B(11.5, 110.0) para calcular la pendiente y obtiene:[pic 13]

[pic 14]

y como el intercepto es 21.5 cms la ecuación del movimiento es ahora:

x = 7.70t + 21.5 (x en cm. t en seg.).

Pero, ¿será correcto lo que el experimentador ha hecho?, ¿o se habrá dejado llevar por la euforia de ver un gráfico en el cual todos los puntos están sobre la recta?.

Aun cuando la escala vertical de la Fig. 3 se ha ampliado, comparada con la escala de la Fig. 2, ella aún no puede dar una precisión infinita. Por otro lado note que los datos de posición de la tabla 2 están todos en centímetros o medio centímetro, lo cual nos hace sospechar que el experimentador todavía no podía medir las posiciones con gran precisión. Al leer las coordenadas de los puntos A y B se puede cometer fácilmente un error de 0.3 a 5.0 mm, en cada punto, o sea que la distancia vertical total a tiene una incertidumbre del orden de un milímetro que corresponde a 0.5 cms. en las coordenadas horizontales puede presentarse un error total también del orden de 0.5 a 1.0 mm. que corresponde a 0.05 a 0.1 seg., de manera que la propagación de errores nos dá:

[pic 15]m/m = [pic 16]a/a + [pic 17]b/b = 0.5/77.0 + 0.05/10.0 = 0.0065 + 0.0050 = 0.0115

entonces

[pic 18]m = 0.0115 x 7.70 = 0.088 cm/seg

Por tanto la pendiente será: m = (7.70 ± 0.08) cm/seg. El intercepto tienen también una incertidumbre del orden de 1 mm. que corresponde a 0.5 cms. o sea que b = 21.5 ± 0.5 cms luego la ecuación será:

x = (7.70 ± 0.08)t + (21.5 ± 0.5), (x en cm. y t en seg.),

La situación es mucho mejor que en el caso anterior pero aún hay incertidumbres y siempre las habrá cuando determinemos cantidades físicas mediante mediciones experimentales. A medida que refinamos nuestros métodos podemos ir reduciendo las