Números reales.

...

- 2x-3>0, (b) x2-5x-24≤0.

- Se resuelve 2x-3= 0 y se obtiene x= 3/2; consideremos los intervalos x 3/2. Para un valor cualquiera de x del intervalo x3/2 tal como x= 3, se verifica 2x-3> 0. Por tanto, 2x- 3> 0 par todo valor de x perteneciente al intervalo x> 3/2.

- Se resuelve x2-5x-24= (x+3) (x-8)= 0y se obtiene x=3 y x=8; consideremos los intervalos x8. Por otra parte x2-5x- 242-5x-24≤0 en el intervalo -3≤x≤8.

Función y variable

Se dice que una variable y es función de otra x, cuando ambas están relacionadas de forma que para cada valor de x perteneciente a su campo de variación le corresponde un valor de y. la variable y, cuyo valor depende del que tome x, recibe el nombre de variable dependiente, mientras que x es una variable independiente. La relación que liga la función con la variable puede ser una tabla de valores en correspondencia, una gráfica o una ecuación. Ejemplo: la ecuación x2-y= 10, siendo x la variable independiente, asigna un valor a y para cada valor que se dé a x. La función definida es y= x2-10. La misma ecuación, tomando a y como variable independiente, hace corresponde dos valores de x con cada uno de los que se dan a y. por tanto, se pueden definir dos funciones de y: x= √10+y.

Resolución de desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita.

La solución de una desigualdad cuadrática es el conjunto de valores que hacen verdadera la desigualdad. Existen varios métodos para resolver desigualdades cuadráticas. Uno de los más sencillos es el que consiste en dividir en regiones la recta numérica, con los valores frontera como límites de las regiones, y probar con valores en dichas regiones para verificar si satisfacen la desigualdad.

- Escribir la desigualdad como una ecuación, y resolver esta. Los valores obtenidos son llamados valores frontera.

- Si la desigualdad contiene una variable en cualquier denominador, determinar el valor o valores que indeterminan la expresión.

- Construir una recta numérica. Marcar sobre esta cada solución determinada en el paso 1, y los valores en el paso 2. No debemos asegurar de marcar estos valores de tal forma que el menor valor quede a la izquierda y el mayor a la derecha. Con esto se forman varias regiones en la recta numérica.

- Seleccionar un valor de prueba en cada región de la recta numérica.

- Verificar cada valor del paso 4 en la desigualdad, para determinar si satisface la desigualdad.

- verificar cada valor frontera y determinar si es solución de la desigualdad. No debemos olvidar que la división entre cero, no existe.

- Escribir la solución en la forma que nos sea útil.

Ejemplo: x2+x- 12> 0. Expresamos la desigualdad como una igualdad: x2+x-12= 0. Factorizando (x+4) (x-3)= 0; igualamos a cero cada factor y despejamos: x+4 = 0, x1= -4, x-3=0, x2=3; los valores -4y +3, obtenidos para x, obtenidos para x, son llamados valores frontera; ahora colocaremos los valores frontera en la recta numérica:

A B C[pic 8][pic 9][pic 10]

-4 0 3

Estos valores dividen la recta numérica en tres regiones: Región A: (-∞,-4), Región B: (-4,3), Región C: (3, ∞). A continuación, elegiremos un valor de prueba en cada región y lo sustituiremos en la desigualdad original. Determinamos si produce una expresión verdadera; si es así, entonces todos los valores en esta región satisfacen la desigualdad; de lo contrario, ningún valor en esa región la satisface.

X2+x-12>0. Para la región A, probaremos con x=-5: (-5)2+ (-5)-12>0, 25-5-12>0, 8>0. Verdadero. Por tanto, toda la región A es parte de la solución de la desigualdad

Para la región B, probaremos con x=0: (0)2+0-12>0, 0-12>0, -12>. Falso. Por tanto la región B no es parte de la solución de la desigualdad.

Para la región C, probaremos con x=4, (4)2+4-12>0, 16+4-12>0, 8>0. Verdadero. Por tanto toda la región C es parte de la solución de la desigualdad. Como los valores de prueba en las regiones A y C, satisfacen la desigualdad, la solución consta de todos los números reales en ambas regiones. Por último, probamos los valores frontera, para determinar si forman o no, parte de la solución. x=-4, x2+x-12>0, (-4)2+ (-4)-12>0, 16-4-12>0, 0>0. Falso. Por tanto, -4no es parte de la solución.

X=3, x2+x-12>0, (3)2+3-12>0, 0>0. Falso. Por tanto, 3 no es parte de la solución. Por tanto: solución= (-∞,4) U (3, ∞). Los paréntesis, el que cierra en -4, y el que abre en 3, nos indican que los valores frontera no son parte de la solución (intervalos abiertos).

Conclusión

En conclusión los números reales son parte esencial de las matemáticas, el uso de los mismos da una serie de habilidades que se desarrollan con la práctica de los mismos. Entre ellas está el orden de cada paso o proceso de solución de algún problema que no sea necesariamente matemático. Además de la memorización