Operaciones con radicales y fracciones

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El reciproco de un número de un número es igual a la unidad dividido por dicho número. Por ejemplo, el inverso de 5 es 1/5. Asimismo, el reciproco de 2/3 es 3/2, porque 3/2=1 entre2/3

Propiedad 1. Las fracciones a/b y b/a son reciprocas; esto es, el reciproco de una fracción se obtiene permutando numerador y denominador.

Propiedad 2. El producto de dos recíprocos es la unidad. Por ejemplo[pic 57], [pic 58]

Propiedad 3. Para dividir por un número o una fracción se multiplica por el reciproco. Por ejemplo[pic 59], [pic 60]

Propiedad 4. Para resolver una ecuación con un coeficiente fraccionario se multiplican los dos miembros por la fracción recíproca. Por ejemplo

para resolver la ecuación [pic 61], se multiplican ambos miembros por [pic 62]. Es decir [pic 63] de donde x = 15

Forma estándar de una fracción

[pic 64] se escribe como [pic 65]

[pic 66] se escribe como [pic 67]

[pic 68] se escribe como [pic 69]

[pic 70] se escribe como [pic 71]

[pic 72] se escribe como [pic 73]

[pic 74] se escribe como [pic 75]

Las formas [pic 76] y [pic 77] se llaman formas estándar de una fracción y sirven para escribir respuestas que incluyen fracciones.

Simplificación

Se dice que una fracción está reducida a sus términos más sencillos o totalmente simplificados, cuando no existe ningún factor común al numerador y denominador. Evidentemente una fracción dada puede reducirse a sus términos más sencillos dividiendo el numerador y el denominador entre los factores que tengan en común. Este proceso se llama también cancelación de factores comunes:

Ejemplo

Simplificar la fracción [pic 78]

Solución: Primeramente factorizaremos el numerador y el denominador y luego cancelaremos los factores comunes a ellos:

[pic 79]

Para reducir una fracción algebraica a expresión algebraica mixta o entera, se divide el numerador entre el denominador. Si la división es exacta la fracción equivalente es una expresión algebraica entera. Si la división no es exacta, se prosigue la división hasta que el primer término del resto sea de menor grado que el primer término del divisor y al cociente así obtenido se le añada una fracción cuyo numerador es el resto cuyo denominador es el divisor.

Ejemplo

Reducir a expresión algebraica entera la fracción algebraica [pic 80]

Solución: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos

[pic 81]

xy

-18x3y

[pic 82]

[pic 83]

12x2y2

6xy3

-6xy3

Así pues [pic 84]= [pic 85]

Ejemplo

Reducir a expresión algebraica mixta la fracción algebraica [pic 86]

Solución: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos

[pic 87]

2x

-2x4

3x3-4x-3

-8x2 - 6x +1

8x2

6x +1

-6x +1

1

Como la división no es exacta tendremos [pic 88]

Ejemplo

Reducir a expresión algebraica mixta la fracción [pic 89]

Solución: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos

[pic 90]

[pic 91]

[pic 92]

[pic 93]

[pic 94]

[pic 95]

[pic 96]

[pic 97]

[pic 98]

[pic 99]

[pic 100]

-3

Como la división es inexacta. Tendremos [pic 101]=[pic 102]

Ejemplo

Reducir a su mínima expresión [pic 103]

Solución: El m.c.d. de los dos términos del quebrado es [pic 104], entonces:[pic 105]

Ejemplo

Reducir a su más simple expresión [pic 106]

Solución: [pic 107]

Ejemplo

Reducir a su mínima expresión [pic 108]

Solución: [pic 109]

Ejemplo

Reducir a su mínima expresión [pic 110]

Solución: [pic 111]

Para reducir una expresión algebraica mixta a fracción algebraica, se multiplica la parte entera por el denominador y el producto resultante se le suma algebraicamente el numerador. El resultado así obtenido es el numerador de la fracción algebraica. El denominador de la fracción algebraica es el mismo que el de la expresión algebraica mixta.

Ejemplo

Reducir