Probabilidad y estadistica. Definición de conjuntos

...

- VA => A = A

2. Propiedad conmutativa. Es también evidente:

- AUB = BUA

3. Propiedad asociativa. Dados tres conjuntos A, B y C se verifica que:

- (AUB)UC = AU(BUC) = AUBUC

Se puede demostrar mediante un ejemplo sencillo. Sean: A = {m, n, p}, B ={j, k, l}, C = {r, p, l}.

El nuevo conjunto y éste unido con el conjunto C, dará como resultado el conjunto: (AUB)UC = {m, n, p,j,k,l,r}

ahora bien, si hacemos antes la unión de B con C tendremos: BUC = {j,k,l,r,p} que unido con el conjunto A nos da: AU(BUC) = {m, n, p, j,k,l,r,p}

Luego, los conjuntos (AUB)UC y AU(BUC) son iguales por estar formados por los mismos elementos.

[pic 8]

[pic 9]

Cardinal de un conjunto

El cardinal indica el número o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita. Los números cardinales constituyen una generalización interesante del concepto de número natural, permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinito.

Propiedades

Los conjuntos pueden no ser divididos en clases de equivalencia definidas en función de la relación de equivalencia que incluye a un par de conjuntos si y sólo si entre éstos existe una biyección. Cardinalidad de un conjunto sería la clase de equivalencia a la cual éste pertenece. Tener dos conjuntos A,B con la misma Cardinalidad (o sea, que pertenezcan al mismo cardinal) se denota:

[pic 10]

La existencia de una función inyectiva entre dos conjuntos también define una relación de orden entre sus cardinales; es decir:

[pic 11]

La relación [pic 12]excluye la posibilidad que los cardinales sean iguales.

Es posible demostrar que si

[pic 13] y [pic 14]esto implica que [pic 15]

El cardinal del conjunto vacío se denota convencionalmente como 0 (cero) y contiene al único conjunto vacío.

El primer cardinal infinito (en el sentido de que sus representantes son conjuntos infinitos) es el cardinal de los naturales, y se denota usualmente por ω. Se puede también demostrar que existe una función biyectiva entre los ordinales y los cardinales de conjuntos infinitos, tal que preserva el orden en ambos conjuntos (el orden de los ordinales y el [pic 16]-orden en los cardinales). Esta función, llamada [pic 17], induce un buen orden en los cardinales, y de aquí proviene la notación [pic 18]para el primer cardinal infinito, [pic 19]para el siguiente, etc.

Los números cardinales de algunos conjuntos se representan con símbolos especiales:

- El cardinal de los números reales: [pic 20];

- El cardinal de los números naturales: [pic 21](Alef-0).

- El cardinal inmediatamente superior a [pic 22]: [pic 23]

Usando los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) puede comprobarse que los tres cardinales anteriores cumplen[pic 24]. La hipótesis del continuo afirma que de hecho. Gödel probó en 1938 que esta hipótesis es consistente con los axiomas ZF, y por tanto puede ser tomado como un axioma nuevo para la teoría de conjuntos. Sin embargo, en 1963 Paul Cohen probó que la negación de la hipótesis del continuo también es consistente con los axiomas ZF, lo cual prueba que dicha hipótesis es totalmente independiente de los axiomas ZF. Es decir, pueden construirse tanto "teorías de conjuntos cantorianas" en las que la hipótesis del continuo es una afirmación cierta, como "teorías de conjuntos no cantorianas" en las que la hipótesis del continuo sea falsa. Esta situación es similar a la de las geometrías no euclídeas.

PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

А ∩ (B ∩ C) = (А ∩ B) ∩ C[pic 25]

2.- Popiedad Idempotente

А ∩ А = А

[pic 26]

3.- Propiedad Conmutativa.

А ∩ B = B ∩ А

[pic 27]

4.- Intersección con el Vacío

А ∩ Ø = Ø

PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS

1.- Propiedad Asociativa

А U (B U C) = (А U B) U C

[pic 28]

2.- Propiedad Idempotente

5.- PROPIEDAD DE ABSORCIÓN

Si B С A U B entonces А U B = B

[pic 29]

PROPIEDADES COMBINADA

1.- Propiedad Distributiba

a) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

[pic 30]

b) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

[pic 31]

2.- Propiedad Simplificativa

a) A U B (B ∩ A) = A

[pic 32]

b) A ∩ (B U A) = A

[pic 33]

Necesidad de contar

Se comenzó a formar, desde que el hombre vio la necesidad de contar objetos, esta necesidad lo llevó a la creación de sistemas de numeración que inicialmente se componían con la utilización de los dedos, piernas, o piedras. De nuevo, por la necesidad, se hizo forzosa la implementación de sistemas más avanzados y que pudieran resolver la mayoría de los problemas que se presentaban con continuidad.