Productos directos y grupos abelianos Actividad 2. Demostraciones

...

[pic 35]

También tenemos que contiene la inversa de cualquiera de sus elementos:

[pic 36]

Por lo consiguiente demostraremos que [pic 37]

Si (de modo que ) y entonces[pic 38][pic 39][pic 40]

[pic 41]

A continuación debemos mostrar que para [pic 42][pic 43][pic 44]

Finalmente, tenemos como consecuencia al grupo será normal en si tenemos que: [pic 45][pic 46]

[pic 47]

Si consideramos un elemento izquierdo:

[pic 48]

Y tomando el siguiente elemento de la derecha:

[pic 49]

Obtenemos el mismo elemento que el de la izquierda.

Análogamente demostramos que todo elemento de la derecha está en la izquierda.

Estableciendo que:

[pic 50]

es subgrupo normal de por lo que analogamente se demuestra para es un subgrupo normal de [pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

Evidentemente tenemos que es la intersección[pic 55]

Para comprar si estos conmutan consideramos:

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

- Sea µ : G × G → G tal que G es un grupo. Demuestre que µ es un homomorfismo si y sólo si G es abeliano

Definimos un homomorfismo como la multiplicación expresada: [pic 60][pic 61]

Para que sea un homomorfismo consideramos:[pic 62]

Si y conmutan en para[pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67]

[pic 68]

Por lo que deducimos que si es un homomorfismo[pic 69]

Ahora [pic 70]

[pic 71]

[pic 72]

[pic 73]

[pic 74]

[pic 75]

- Sean G y H grupos abelianos finitos. Si G × G ∼= H × H ¿G ∼= H?

Recordando y utilizando el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados. Todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo al producto directo de los grupos cíclicos de la forma [pic 76][pic 77][pic 78]

En los cuales los son primos, no necesariamente distintos y considerando que las son enteros positivos; por lo que consideramos que su producto directo es único exceptuando los posibles arreglos de los factores.[pic 79][pic 80]

Así los grupos que aparecen en la descomposición de y de son únicos excepto por orden de los factores.[pic 81][pic 82]

Considerando que y son isomorfos, los factores en sus descomposiciones tienen que ser los mismos. [pic 83][pic 84]

Teniendo que por las descomposiciones de y pueden estar escritos en el orden de factores anteriores de , y tienen los mismos factores en su expresión de la descomposición, del teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados.[pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89]