Productos directos y grupos abelianos Actividad 2. Demostraciones
Enviado por Stella • 18 de Marzo de 2018 • 778 Palabras (4 Páginas) • 648 Visitas
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[pic 35]
También tenemos que contiene la inversa de cualquiera de sus elementos:
[pic 36]
Por lo consiguiente demostraremos que [pic 37]
Si (de modo que ) y entonces[pic 38][pic 39][pic 40]
[pic 41]
A continuación debemos mostrar que para [pic 42][pic 43][pic 44]
Finalmente, tenemos como consecuencia al grupo será normal en si tenemos que: [pic 45][pic 46]
[pic 47]
Si consideramos un elemento izquierdo:
[pic 48]
Y tomando el siguiente elemento de la derecha:
[pic 49]
Obtenemos el mismo elemento que el de la izquierda.
Análogamente demostramos que todo elemento de la derecha está en la izquierda.
Estableciendo que:
[pic 50]
es subgrupo normal de por lo que analogamente se demuestra para es un subgrupo normal de [pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]
Evidentemente tenemos que es la intersección[pic 55]
Para comprar si estos conmutan consideramos:
[pic 56]
[pic 57]
[pic 58]
[pic 59]
- Sea µ : G × G → G tal que G es un grupo. Demuestre que µ es un homomorfismo si y sólo si G es abeliano
Definimos un homomorfismo como la multiplicación expresada: [pic 60][pic 61]
Para que sea un homomorfismo consideramos:[pic 62]
Si y conmutan en para[pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67]
[pic 68]
Por lo que deducimos que si es un homomorfismo[pic 69]
Ahora [pic 70]
[pic 71]
[pic 72]
[pic 73]
[pic 74]
[pic 75]
- Sean G y H grupos abelianos finitos. Si G × G ∼= H × H ¿G ∼= H?
Recordando y utilizando el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados. Todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo al producto directo de los grupos cíclicos de la forma [pic 76][pic 77][pic 78]
En los cuales los son primos, no necesariamente distintos y considerando que las son enteros positivos; por lo que consideramos que su producto directo es único exceptuando los posibles arreglos de los factores.[pic 79][pic 80]
Así los grupos que aparecen en la descomposición de y de son únicos excepto por orden de los factores.[pic 81][pic 82]
Considerando que y son isomorfos, los factores en sus descomposiciones tienen que ser los mismos. [pic 83][pic 84]
Teniendo que por las descomposiciones de y pueden estar escritos en el orden de factores anteriores de , y tienen los mismos factores en su expresión de la descomposición, del teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados.[pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89]
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