RESOLUCION VIGA CANTILEVER MATLAB

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SIGMA X

[pic 14]

SIGMA Y

[pic 15]

DEFORMADA

[pic 16]

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MALLA 8X24

SIGMA X

[pic 17]

SIGMA Y

[pic 18]

DEFORMADA

[pic 19]

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SOLUCION ANALITICA DE LA ECUACION

Considerando la figura siguiente, la solución analítica para los desplazamientos u y v son:

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Para Nuestro caso se tiene:

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

Se puede elegir la fibra neutra donde se aplica la carga, en este caso, x=0 e y=0, de ahí se tiene:

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

Para comparar el valor anterior, se mostrarán los valores de las deformaciones máximas para las distintas mallas.

[pic 33] [pic 34]

Malla 1x6 Malla 2x12

[pic 35] [pic 36]

Malla 4x12 Malla 8x24

[pic 37] [pic 38]

Malla 8x48 Malla 16x48

[pic 39]

Malla 32x96

De las figuras anteriores, se observa que a medida que aumenta nuestra malla, los valores se acercan más al calculado teóricamente, y llega un momento en el que los valores ya no sufren variación.

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ANALISIS DE LA INFLUENCIA DEL USO DE DIFERENTES CUADRATURAS DE INTEGRACION NUMERICA.

De acuerdo a lo visto en clases y la literatura consultada (Zieckevich, Oñate), los puntos de integración de gauss o cuadratura (n) mínimos necesarios para tener la solución exacta son:

[pic 40]

Si la expresión anterior contiene decimales, se debe aproximar al entero siguiente.

Donde p es el grado del polinomio que se quiere integrar en la coordenada natural, que en este caso, va a estar definido por las funciones de forma que utilizamos en cada una de las direcciones naturales.

Por lo tanto, el aumentar los puntos de integración cuando ya se ha cumplido la regla anterior, sólo aumenta el costo del cálculo, ya que el valor de la integral ya es exacto al cumplir con le ec. Anterior.

Por ejemplo, si quisiera integrar un polinomio de grado p=5, por cuadratura de gauss, se deben usar al menos:

puntos de integración para obtener la solución exacta. Aumentar los puntos de integración obtendrían la misma solución a un costo mayor. Por otro lado, si se utilizan menos de 3 puntos de integración, habría error en el cálculo.[pic 41]

Para el caso del problema desarrollado, se tiene que la cuadratura de gauss se analiza en cada dirección utilizada y se observa que cumple con la ecuación anterior, por lo que no serviría de nada aumentar los puntos de integración.

COMENTARIOS Y OBSERVACIONES

Comparando los resultados de las diferentes discretizaciones se puede apreciar la convergencia de los resultados, tanto en deformaciones como de tensiones, a medida que se aumenta el número de elementos en la malla. Sin embargo, establecer un criterio apropiado para seleccionar la malla “ideal” no es tan evidente. Pese a esto se pueden indicar los siguientes aspectos en base a los diagramas (gráficos) obtenidos.

Emplear una malla en donde no existen divisiones sobre el eje “y” conlleva a resultados extremos y/o erróneos. Esto dado que el programa busca indicar los esfuerzos sobre la viga como si recibiera sólo solicitaciones axiales, es decir, sólo elementos en compresión y tracción, lo que lleva a resultados con cero continuidad sobre el eje longitudinal. Esto último es obvio, ya que sólo sobre él se asignan divisiones, y en base a ellas se realizan las comparaciones. Por ello, emplear una malla con una única división sobre el eje transversal resulta inapropiado para este problema en particular. Para evitar este tipo de problemas se recomienda esbozar la deformada de la estructura según el tipo de cargas presentes en ella.

Por otro lado, en la malla 2x12 se observan resultados mucho más lógicos que los obtenidos en la de 1x6. En su gráfico se aprecia cómo se distribuyen las tensiones por las zonas superior e inferior de la viga (aspecto inapreciable en la malla anterior). La carga “P” genera zonas de tracciones desde la cara superior hasta el eje neutro, mientras que en el resto las tensiones son de compresión (equilibrio interno).

Continuando con el aumento en el número de elementos en la malla se logra apreciar la similitud en los resultados (no igualdad perfecta). Las deformaciones y tensiones se encuentran en un orden de magnitud idéntico y los diagramas muestran resultados coherentes y esperados a priori; se aprecia una fibra con tensiones cercanas a cero (eje neutro) que divide a la viga en zonas de tracción y compresión claramente definidas. En base a todo lo anterior se puede concluir que las mallas 4x12 y 8x24 representan de manera adecuada los resultados solicitados. Se recomienda, para este tipo de análisis, emplear y probar varios