Solutions.

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La variable aleatoria X sigue una distribución Poisson: X ~ P(8).

Pasamos a resolver los distintos puntos ofrecidos por el enunciado del problema.

a) Debemos adaptar nuestro parámetro promedio ya que el estudio está basado en una jornada de 25 horas:

100.-.---8...25....--- λ

Por lo tanto, el número medio de fallos por componente (de 25 horas) es:

· λ = (8*25)/100 = 2

La probabilidad que debemos obtener es la siguiente:

[pic 2]

Por lo tanto, la probabilidad de que un componente falle en 25 horas, es de, aproximadamente, 0.270671.

b) Debemos adaptar nuestro parámetro promedio ya que el estudio está basado en una jornada de 50 horas:

..100..--- 8

...50....--- λ

Por lo tanto, el número medio de fallos por componente (de 50 horas) es:

λ = (8*50)/100 = 4

La probabilidad que debemos obtener es la siguiente:

P(X .2) = P(X = 0) + P(X = 1)

Sustituimos:

[pic 3]

Por lo tanto, la probabilidad de que menos de dos componentes fallen en 50 horas, es de, aproximadamente, 0.091578.

c) Debemos adaptar nuestro parámetro promedio ya que el estudio está basado en una jornada de 125 horas:

100..--- 8

..125....--- λ

Por lo tanto, el número medio de fallos por componente (de 125 horas) es:

· λ = (8·125)/100 = 10

La probabilidad que debemos obtener es la siguiente:

P(X ≥ 10) = 1 - P(X

Para este punto, emplearemos el software R para obtener la solución final:

> ppois(c(10), 10, lower.tail = F)

[1] 0.4169602

Por lo tanto, la probabilidad de que al menos diez componentes fallen en 125 horas, es de aproximadamente 0.416960.

3) Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

Realizamos un diagrama de árbol con todas las opciones posibles:

[pic 4]

Consideremos los siguientes sucesos:

Ai “elegir caja nº i” F” extraer bombilla fundida” B” extraer bombilla no fundida” La probabilidad de extraer una bombilla fundida será:

p(F) = p(A1) · p(F/ A1) + p(A2) · p(F/ A2 ) + p(A3) · p(F/ A3)

Es decir:

[pic 5]