TAREA DE CALCULO

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1. Vefrifique las siguientes integrales

dx 1

a) = arctan x/a + C,

a2 + xx

a

b) =ln

dx

x − 1

x +1

+ C, x2 − 1

dx 1+ x

1 − xc) =ln

+ C,

1 − x2

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3. Técnicas de integración

3.1. Integración por sustitución

1. Calcule las integrales siguientes con ayuda de los cambios de variable su

geridos

x

a) dx, u = a2 − x2;

(a2 − x2)2

2x +1

2

b) dx, u = x + x + 1;

(x2 + x + 1)

cos x sin x

c) dx, u = 1+sin2 x;

1 + sin2 x 1

d) dx;

x(x + 1)

2

e) x tan x 2 dx, u = cos x ;

ln x

f) dx;

x arctan x

g) dx;

1+ x2 1

h) dx, u = ln x.

x ln x

2. Verifique la siguiente igualdad

1 1+sin θ

sec θ dθ =ln + C.

21 − sin θ

Se sugiere escribir

cos θ 1 cos θ cos θ

sec θ = =+ .

(1 + sin θ)(1 − sin θ) 2 1+sin θ 1 − sin θ

- Mediante un argumento similar al ejercicio anterior, determine la integral (también verifique el resultado)

- Mediante el cambio de variable x = tan θ, verifique la integral

csc θ dθ.

√

1 11+ x2 + x

√ dx = ln √ + C.

1+ x2 2 1+ x2 − x

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5. Verifique mediante integración por partes

1

tan2 θ sec θ dθ = tan θ sec θ − sec θ dθ.

2

6. Mediante el cambio de variable x = tan θ, verifique la integral

√

1 1+ x2 + x

1+ x2 dx = ln √ + x1+ x2+ C.

2 1+ x2 − x

Siguiendo el cambio se llega a la integral de sec3 θ, se sugiere usar la

identidad

sec 3 θ dθ = (1 + tan2 θ) sec θ dθ = sec θ dθ + tan2 θ sec θ dθ.

7. Mediante el cambio de variable adecuado resuelva las siguientes integrales indefinidas

dx 1dx

a) √ ,u = , b) ,x = − ln u,

xx2 − 2 xex +1 x √

c) √ dx, u = x +1, d) x(2x + 5)10 dx, u =2x +5,

x +1 1+ x √ (arcsin x)2

e) √ dx, u =1+ x, f) √ dx, x = sin θ,

1+ x 1 − x2 dx dx

√√

g) √ ,u =2x +1, h) √ ,u = ex − 1,

x 2x +1 ex − 1 x ln 2x dx

2

i) √ dx, u = x, j) ,

1+ x4 ln 4xx

3 −x

o) xe 2 dx, p) x tan2 2x dx.

8. Hallar las siguientes integrales empleando sustituciones trigonométricas

√

x2 x2 +1

a) √ dx, x = sen θ, b) dx, x = tan θ,

1 − x2 x

√ x2 − a2 dx

c) dx, x = a sec θ, d) √ ,x = 2 sin θ,

xx2 4 − x2 x3 √ e) √ dx, x = 2 sin θ, f)1 − x2 dx,

2 − x2

g)a2 − x2 dx, h)a2 + x2 dx.

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3.2. Integración por partes

1. Hallar las siguientes integrales utilizando la fórmula de integración por partes

ln x

x

a) e cos x dx, b) dx,

x3

c) x 2−x dx, d) x cos 3x dx, ln x