TEOREMAS INTEGRALES

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Sea Ω una región simple de IR3 cuya superficie frontera S tiene orientación positiva (hacia afuera). Sea F un campo vectorial cuyas funciones componentes poseen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a Ω. Entonces:[pic 10]

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EJEMPLOS

TEOREMA DE GREEN

1.-Transformación de una integral de línea en una de área.

Evaluar [pic 11], donde C es la curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y (1;0), orientada positivamente.

Tenemos:[pic 12]

[pic 13]

Por lo tanto:

[pic 14]

2.- Limitaciones en la aplicación del Teorema de Green. Dado

F(x;y)= (P;Q) = (-yi + xj) / (x2 + y2)

a) Calcular su integral de línea sobre el círculo x2 + y2 = 1

b) Calcular,[pic 15] donde D es la región encerrada por la curva del punto a).

a) Parametricemos el círculo.

[pic 16]

[pic 17]

Integrando tendremos, así:

[pic 18]

b) Haciendo los cálculos directamente en coordenadas cartesianas es:

[pic 19]

3.- calcule la integral[pic 20]

Siendo S la superficie externa de x²+ y²= a² comprendida entre z = 2 y z = −2.[pic 21]

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[pic 22][pic 23]

4.- Usar el teorema de Stokes para calcular la integral de línea.[pic 24]

Donde C es la curva intersección de la superficie del cubo 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a y el plano x + y + z = 3a/2, recorrida en sentido positivo

Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo vectorial:[pic 25]

Al aplicar el teorema de Stokes, resulta:

[pic 26]

5.- [pic 27]

[pic 28]

CONLUSIÓN

Este tipo de teoremas de cálculo vectorial son muy útiles ya que nos pueden permitir relacionar integrales de campos vectoriales, integrales derivadas de operadores etc. Estos teoremas antes mencionadas tiene mucha importancia ya que gracias a ellos podemos interpretar fenómenos físicos de una manera matemática y así conocerlos a más detalle, como es el flujo de fluidos, difusión de calor, estudio de ondas electromagnéticas por lo que es de gran utilidad para el desarrollo.

BIBLIOGRAFÍA

http://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/07_3.pdf

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/PROBLEMAS/Resumen_teoria/Analisis_vectorial/Teoremas_anal_vect.htm

http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_itop/211/pdf/20122013_th_integ_imp.pdf

http://sgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/ahg/marsden-tromba_vectores.pdf