Teoría de conjunto

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Vértice: es el punto donde la parábola cruza su eje de simetría. Si el coeficiente del término x 2 es positivo, el vértice será el punto más bajo en la gráfica, el punto en la parte baja de la forma “U” las fórmulas para hallar el vértice de X es Xv= |x1 +x2/2|, mientras que para hallar el Vértice de Y es Yv= a (Xv)2 + b.Xv +c

Eje de Simetría: El eje de simetría es una recta paralela al eje y que pasa por el vértice de la parábola, por tanto es única y dividirá en dos partes iguales a la parábola como una simetría axial.

Vectores:

La magnitudes como ser fuerzas velocidades no se pueden ordenar en escala creciente o decreciente porque necesitan 3 elementos para su definición primero un número (modulo), segundo una dirección y un sentido, dichas magnitudes se denominan magnitudes vectoriales por lo tanto se define como vector a todo elemento orientado que contiene los 3 elementos, el modulo es igual a la longitud del segmento, la dirección, es la dirección de la recta que la contiene, y el sentido es lo que va desde el origen al extremo del segmento.

[pic 13]

Vectores Equipolentes o Iguales: dos vectores son equipolentes o iguales cuando las rectas determinadas por sus orígenes son paralelas.

[pic 14]

También se puede definir a aquellos que tienen el mismo modulo, la misma dirección y el mismo sentido, la característica de estos vectores es que entre ellos se pueden establecer un criterio de igualdad en estos casos se lo conoce como vectores libres. También se dice que el conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido, El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.

[pic 15] Vectores Libres[pic 16]

Vector Nulo: es aquel vector cuyo modulo es igual a 0

Vector Unitario: es aquel cuyo modulo es igual a 1. Los vectores unitarios tienen de módulo, la unidad. Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado se divide éste por su módulo.

[pic 17] Vector Unitario [pic 18][pic 19]

Operaciones Con Vectores

Suma y resta de Vectores: Suma: La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma:

Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.

Existen dos maneras de realizar la sume analítica y gráficamente:

Manera Gráfica: la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera:[pic 20]

Mientras que su forma analítica es: La expresión correspondiente al vector suma es S=V1+V2+V3+…Vn= Vs

Diferencia (resta) de Vectores: a- b es un proceso de calculación de vector c, cuyos todos elementos equivalen a la diferencia emparejada de todos elementos respectivos de vectores ay b, es decir, cada elemento del vector c equivale a: сi = ai - bi

El producto de un número k por un vector [pic 21] es otro vector:

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

[pic 22] [pic 23]

Vectores referidos al origen de coordenadas: conocidos el origen a (xa, ya) y el extremo b (xb, yb) de n vector para hallar las componentes del vector referido al origen de coordenadas aplicamos la siguiente formula ab (xb – xa; yb – ya). [pic 24]

Para poder sacar la distancia entre 2 puntos d(a; b)= √ (xb – xa)2 + (yb – ya) 2

Módulo de un Vector: Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una magnitud, a esa magnitud se le denomina módulo. |V|= √ Vx2 + vy2

Producto escalar de un Vector:

Dados los Vectores: U (Ux; Uy) y V (Vx; Vy) -→ U.V= (Ux. Vx + UY. VY)

Interpretación Grafica: Se llama producto escalar o interno de dos vectores U y V al escalar que se obtiene como producto de los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que ellos forman. En símbolos: V. U= |V|. |U| cos α → Si V. U =0 → α= 90° → V _|_ U

Punto medio de un Segmento: El punto medio de un segmento de recta es el punto que se encuentra localizado exactamente a la mitad de dos puntos. Se trata del promedio de ambos puntos, el cual es el promedio de las dos coordenadas x y de las dos coordenadas y. Localiza las coordenadas de los puntos extremos.

Representación gráfica: dados A (a1; a2) y B (b1; b2) el punto medio se obtiene

M= (a1+b1/2; a2 + b2/2)

Vectores Paralelos: Son aquellos que tienen la misma dirección sin importar su ubicación en el espacio Dados:

V (vx, vy) [pic 25]

W (wx, wy) V // W ←→ vx/wx = vy/wy

Vectores Perpendiculares:

V _|_ W ←→ V. W = 0 → α= 90°

Matrices:

Se llama así a una tabla de números compuestos por N fila y N columnas.

Clases de Matrices:

[pic 26]

[pic 27][pic 28][pic 29]

Matriz fila: Una matriz fila está constituida por una sola fila. [pic 30]

Matriz Columna: La matriz columna tiene una sola columna.

[pic 31]

Matriz Transpuesta: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Es decir, las filas se transforman en columnas. Formula