Técnicas para resolver varias clases de desigualdades analíticamente

...

[pic 131]

Nuestra solución a la ecuación , está compuesta por los valores de x que satisfagan ambas partes de la desigualdad, por lo que tomamos las intersecciones de y para obtener.[pic 132][pic 133][pic 134]

(También, gráficamente se puede encontrar fácilmente el intervalo)[pic 135]

- [pic 136]

Solución:

Simplificando[pic 137]

[pic 138]

Sí , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - [pic 139][pic 140]

[pic 141]

[pic 142]

[pic 143]

ok.[pic 144]

Sí , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - [pic 145][pic 146]

[pic 147]

[pic 148]

ok.[pic 149]

Graficar en el mismo sistema de coordenadas y , e identifique la solución.[pic 150][pic 151]

Solución: [pic 152]

- La ganancia en Dólares, por la venta de botellones de agua purificada certificada está dada por[pic 153]

, para . ¿Cuántos botellones de agua deben venderse para obtener al menos $50 de ganancia? [pic 154][pic 155]

[pic 156]

[pic 157]

[pic 158]

[pic 159]

[pic 160]

[pic 161]

R:/ Deberá vender cualquier cantidad entre 10 y 15 botellones. Verifique estos resultados encontrando las raíces de la función , utilizando “Quadratic solver”on line.[pic 162]

- [pic 163]

Solución

Para que el lado izquierdo de la desigualdad sea (es decir; positivo), considerando que el numerador es una constante negativa, es que el denominador también sea negativo, porque . Por lo que resolveremos la desigualdad .[pic 164][pic 165][pic 166]

Reste 4 en ambos lados de la dsigualdad[pic 167]

Reducir términos semejantes[pic 168]

Dividir entre ambos lados[pic 169][pic 170]

Invierta el sentido de la desigualdad[pic 171]

Simplificar[pic 172]

--→ [pic 173][pic 174]

- R:/ [pic 175][pic 176]

- [pic 177]

- Todos los números reales excepto el 1[pic 178]

- [pic 179]

- [pic 180]

- [pic 181]

- [pic 182]

Solución

Efectuar la resta en el lado izquierdo ()[pic 183][pic 184]

Simplificar[pic 185]

Reducir términos semejantes[pic 186]

Encontrar los valores críticos, es decir los valores de x que hacen cero al numerador y denominador. Los valores críticos son: 2 y 4[pic 187]

Signo resultante

[pic 188]

[pic 189]

[pic 190]

Signo de :[pic 191]

[pic 192]

[pic 193]

[pic 194]

Signo de :[pic 195]

[pic 196]

[pic 197]

[pic 198]

Valores críticos de x: [pic 199][pic 200]

Respuesta: [pic 201]

- [pic 202]

SOLUCION

a) [pic 207][pic 208][pic 209][pic 203][pic 204][pic 205][pic 206]

b) Encontrar los valores críticos:

Es decir; aquellos valores de x que hacen cero el denominador y el numerador del lado izquierdo. En este caso son los números reales y .[pic 210][pic 211]

c) Tabla de prueba de signos

Signo resultante

[pic 212]

[pic 213]

[pic 214]

[pic 215]

Signo de [pic 216]

[pic 217]

[pic 218]

[pic 219]

[pic 220]

Signo de :[pic 221]

[pic 222]

[pic 223]

[pic 224]

[pic 225]

Signo de :[pic 226]

[pic 227]

[pic 228]

[pic 229]

[pic 230]

Valor crítico de : [pic 231][pic 232][pic 233][pic 234]

Observando la expresión original puede apreciarse que x debe ser diferente de y (), valores que deben quedar fuera de la solución. Por lo que el intervalo solución es:[pic 235][pic 236][pic 237]

[pic 238]

-