UNIDAD Nº 1 CONJUNTOS NUMERICOS ORIGEN DE LOS CONJUNTOS NUMERICOS
Enviado por mondoro • 30 de Septiembre de 2018 • 2.083 Palabras (9 Páginas) • 461 Visitas
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En el lenguaje simbólico podríamos decir que ecuaciones como [pic 28] no tienen solución en Z pues no hay ningún número entero que satisfaga este planteo ([pic 29])
Nuevamente es necesario crear un nuevo conjunto numérico que es Q, conjunto de números racionales, que son los que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros.
Se establece un isomorfismo entre Z y un subconjunto de Q, que es el de los racionales enteros. El conjunto de los números racionales se completa con los racionales fraccionarios.
[pic 30]
Z Q[pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
[pic 34]
[pic 35]
El conjunto de los racionales es una ampliación de los enteros Z se relaciona con Qenteros y se amplia con Qfraccionarios
Las propiedades de este conjunto son:
A) El conjunto de los racionales es un conjunto infinito totalmente ordenado por la relación ““
B) No tiene primer ni último elemento.
C) Entre dos números racionales existen infinitos racionales más, por lo que decimos que Q es un conjunto denso.
D) Ningún número racional tiene sucesor ni antecesor. Es una consecuencia de la densidad.
LOS NUMEROS RACIONALES EN LA RECTA NUMERICA.
A todo número racional corresponde un punto sobre la recta numérica.
Q[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]
-3 [pic 45] -2 -1 [pic 46] 0 +[pic 47] +1 +2 [pic 48]
NUMEROS IRRACIONALES
Los números racionales no cubren la recta numérica, es decir que no todo punto en la recta numérica corresponde a un número racional.
Llegado a este punto cabe recordar que todo número racional puede ser expresado como número decimal periódico, en consecuencia:
a) [pic 49] b) [pic 50]
c) [pic 51] d) [pic 52]
e) [pic 53] f) [pic 54]
g) [pic 55] h) [pic 56]
Hay expresiones decimales que no son periódicas, por ejemplo: 0,101100111000... ó bien: 1,4142...
Estos números no son números racionales, es decir que no pueden expresarse como el cociente entre dos números enteros. Este tipo de números reciben el nombre de números irracionales, que se simbolizan con I. Pueden tener su origen en sucesiones infinitas de números enteros o en la radicación cuando el radicando no es potencia exacta del índice de la raíz.
Expresando lo anterior simbólicamente diríamos que ecuaciones de la forma [pic 57] no tienen solución en Q ya que ([pic 58]).
NUMEROS REALES
Con la creación del conjunto I cubrimos la recta numérica pues se une al conjunto de los números racionales y forma el conjunto de números reales. R = Q + I
Las propiedades del conjunto de los números reales son:
A) R es un conjunto infinito ya que no tiene primero ni último elemento.
B) R es un conjunto totalmente ordenado por la relación “ “
C) Entre dos números reales existen infinitos números reales, por lo que decimos que el conjunto de los números reales es denso.
El conjunto de los números reales completa la recta numérica. Esto significa que a cada número real le corresponde un punto de la recta y a cada punto de la recta corresponde un número real.
A partir de aquí el único problema que queda para resolver es dar solución a raíces de índice par y radicando negativo que darán origen a los números complejos que NO estudiaremos en este curso.
SINTESIS
[pic 59]
NUMEROS REALES - OPERACIONES
Efectuada esta introducción general y revisión de los conjuntos numéricos trabajaremos sobre las operaciones establecidas en el conjunto de los números reales R.
Adición, multiplicación, sustracción y división
Si a y b son dos números reales cualquiera, se pueden establecer las siguientes operaciones en el conjunto R.
A) Adición: a + b = d
B) Sustracción: a – b = e
C) Multiplicación: a · b = f
D) División: a : b = g, si b 0
Podemos decir además que a y b son iguales si y sólo si representan el mismo número real.
Si a, b y c representan números reales y a = b, se cumple que:
a + c = b + c
a - c = b - c
a · c = b · c
a : c = b : c , si c ≠ 0
PROPIEDADES
Si a, b y c son números reales se cumple que:
La adición y la multiplicación son operaciones conmutativas.
a + b = b + a a · b = b · a
La adición y la multiplicación son operaciones asociativas.
(a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)
La multiplicación es distributiva respecto a la suma y a la resta.
a · (b + c) = (a · b) + (a · c) a · (b - c) = (a · b) - (a · c)
El número “0” es el elemento neutro en la adición.
a + 0 = a
El
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